Mechanische Theorieen in der mathematischen Physik,
von
Arthur KORNin Berlin.
Bei der grossen Zahl der neuen experinientellen Tatsachen, welche die letzten Jahrzehnte gebracht haben, konnte die Mechanikmit ihrem Bestreben, alle physikalisehen und chemischen Erscheinungen als Bewegungen einer(moglichsteiniheitlichen) Materiezu erklaren, nicht immer imitkommen; es entstanden neue, teilweise sehr fantastische Hypothesenbildungen, welche sich oft als fruchtbringend erwiesen, ohne allerdings den Weg zu unserer Intuition zu finden. Ohne den Nutzen zu verkennen, den manche der neuen Hypothesen, im besonderen der Relativititatstheorie undder Quantentheorie gebracht haben, habe ich stets die extremen Ansichten bekitmpft,dass nunmehr allgemein die mechanischen Theoricen als unfruchtbar in den Orkus zu befordern seien; ich glaube nach wie vor, dass die grossten Fortschritte immer von den mechanischen Theorieen zu erwarten sind, und es hat sick immer wieder gezeigt, dass auch diejenigen modernenTheoricen, welchesich am meisten von mechanischen Ideen zu emanzipieren glaubten, nur dann jedesmal einon Schritt vorwiirts
getan haben, wenn eine anschaulich mechanische Idee in sic hin
oingetragen wurde. Der erste grosse Ansturm gegen die mechanischen Theorieen
wurde mit dem Argumente geliefert, dass die mechanischenTheorieen
nicht im Stande seien, die Erscheinungen des elcktromagnetischen Feldes,wie sic durch die Maxwell-Hertzschen. Gleichungen zusammengofasst werden, zu erklaren. Tatsachlich diirfte die mechanische Erklarung des elektromagnetischen Feldes kaum durchzufuhren sein, wenn man das strenge kausale Grundprinzip der klassischen Mechanik
(z. B. in der Form des D'A lembert'schen Prinzips) zu grunde legt;
es ist uns aber durchaus nicht verboten, die Hypothesen der Mechanik dahin zu erganzen, dass in der Fundamentalgleichung des Grund
prinzips gewisseneue Naherungsglieder hinzuzunehmen sind, wenn
die Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen wesentlich grosser sind, als sie im allgemeinen bei den Betrachtungen der klassischen Mechanik angenommen werden. Dass bei einer Erklarung der elektromagnetischen Erscheinungen ausserordentlich rasche Schwingungeu


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anzunehmen sind, mit enormen Frequenzen, wie sie in der fruheren Mechanik nicht auftraten, kann. nicht Wunder nehmen, und damit auch nicht das Auftreten neuer Naherungsglieder, welche bei gewohnlichen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zu vernachlassigen sind. Die erste und wichtigste Aufgabe fur cine mechanische Theorie des elektromagnetischen Feldes ist die Beantwortung der Frage: Welche mechanische Vorstellung haben wir uns einem (positv oder negativ) elektrischen Teilchen zu bilden? Ohne auf mathomatische Einzelheiten hier einzugehen, darf ich sagen, es gibt keine andere Moglichkeit der
mechanischen Erklarung, als die Auffassung der elektrischen Teilchen als pulsierender Korper, d. h. also ein elektrisches Teilchen ist ein materielles Teilchen welches sein Volumen poriodisch mit einer enorm hohen Frequenz verandert. Wenn das Zwischenmedium, in welchem sich solche pulsierende Teilchen befinden, fur Schwingungen sehr hoher Frequenz als inkompressibel bzw. als sehr nahe inkompressibel angenommen wird, so ergeben sich zwischen den Teilchen mechanische Wechselwirkungen (zuerst von C. A. Bjerknes studiert), ahnlich den Coulombschen Kraften zwischen elektrischen Teilchen, Wenn man
positiv und negativ elektrische Teilchen durch ihre Phase,(die positi
ven Teilchen erreichen das Maximum des Volumens, wenn die negativen das Minimum des Volumens haben und umgekehrt) unterscheidet. Allerdings blieb bei dieser mechanischen Auffassung der elektrischen Toilchen zunachst eine Schwierigkeit bestehen: Die Berechnung nach der klassischen Mechanik ergibt Anziehung zweier Teilchen mit gleicher Phase, Abstossung zweier Teilchen mit entge
gengesetzter Phasc; fur eine Theorie der Coulom bschen Krafte mussten die Vorzeichen umgekehrt herauskommen. Ich habe diese Schwierigkeit in der folgenden Weise uberwunden: In der Theorie nach der klassischen Mochanik verandern sich die Amplituden der Pulsationen zweier Teilchen, welche in irgend einem Anfangszustande bestimmt gegebene mittlere lebendige Krafte haben, bei der Veranderung der geometrischen Lage der Teilchen (allerdings sehr wenig, um Grossen, die von der Ordnung der Dimensionen der Teilchen
gegen ihre Entfernungen klein sind). Fugt man nun von vornherein
(dieBedingung hinzu, dass die Pulsationsamplituden exakt konstant bleiben sollen, dann ergibt sich die Umkehrung des Vorzeichens fur (diemechanischen Wechselwirkungen. Die sich hier als notwendig erweisende Hypothese der Erhaltuny von Eigenschwingungen ist


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nicht ohne weiteres mit Hilfe der klassischen Mechanik zu begrunden; es muss angenommen werden, dass die die Elektronen bildendo Materie die Eigenschaft hat, die mittlere Energie von Eigenschwin
gungen um so exakter zu erhalten, je grosser die Frequenzen der Eigenschwingungen sind. Fur Frequenzen, wie sie in der gewohnlichen Mechanik vorkommen, andert sich nichts an den Voraussetzun
gen der klassischen Mechanik, es ist aber ein neues Glied in dem Fundamentalprinzip der Mechanik zu berucksichtigen, welches bei sehr grossen Frequenzen diese Erhaltung der Eigenschwingungen enthalt. Die Formel, welche dieses Prinzip einschliesst, habe ich als Prinzip der Individualitat
bezeichnet, nicht in einem Gegensatz zu dem Prinzip der Relativitat -meine Untersuchungen gehen bis in eine Zeit vor der Geburt der
Relativitatstheorie zuruck--.Dass eine derartige Erganzung der klassischen Mechanik notwendig ist, darauf weisen sehr allgemeinen Naturerscheinungen hin: Die Erhaltung der chemischen'Atome, der Zellen in der Biologie usw. Das in Frage stehende Prinzip der I ndividualiat kann man in folgender Weise formulieren: Denken wir uns zu den gewohnlichen Geschwindigkeiten
, v0, w0 u0
noch Schwingungsgeschwindigkeiten von sehr hoher Frequenz
hinzuaddiert, so dass die wirklichen Geschwindigkeiten
werden. u sei die Dichte eines kleinen Raumteilchens der Materie
dr mit einem inneren Punkte (x,y,z) zur Zeit t,
ƒÂ x, ƒÂy,ƒÂz
die virtuellen Verschiebungen von x,y,z, dann soll das Prinzip von
D'Aleinbert
(1)
dahin abgeandert werden, es sei:


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(2)
wenn(ƒÌ,ƒÅ,ƒÄ) irgend einen Punkt des Oberflache ƒ¶ von dƒÑ vorstellt,
u nd
(3)
gesetzt ist (v innere Normale des Oberflachenelementes dw an der Stelle (ƒÌ,ƒÅ,ƒÄ). Die Gleichung geht offenbar in das gewohnliche
D'Alembertsche Prinzip uber, wenn
Man kann das Prinzip der Anschauung dadurch nahe bringen, dass man an eine totale Reflexion der Grossen:
an den Oberflachen ƒ¶ denkt, die nur fur Schwingungen von ganz
ausserordentlich hoher Frequenz gilt. Man wird vielleicht spatter
einmal die Forderung erheben, den Ubergang vom D'Alembertschen
Prinzip zu diesem Prinzip festzustellen, wenn die Frequenz von Sch
wingungen zunachst kleiner (wie in der gewohnlichen Mechanik)
gedacht ist und man zu Schwingungen von hoherer und hoherer Frequenz ubergeht. Diese Entwicklung mochte ich noch der Zukunft
uberlassen und gewissermassen die Gleichungen (1) (D'A 1embert
sches Prinzip) und (2) (Fundamentalprinzip unter Berucksichtigung
der Erhaltung der Individualitat) als Annaherungen auf der einen
u nd der anderen Seite betrachten.
Ich mochte auch hervorheben, dass ich die Individualitatskorrektur
nfuurr die die Elektronen zusammensetzende Materie annehme, nicht
fur die ubrige Materie, dass ich aber auch nicht an zwei qualitativ
verschiedene Materien denke, sondern dass ich annehme, dass auch
zwischen den beiden Materien Ubergange moglich sind, wir haben
gewissermassen auch hier nur zwei Annaherungen, und es sei zukunftigen Entwicklungen uberlassen, die Ubergange von der einen


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Annaherungsgleichung (1) zu der Annaherungsgleichung (2) zu finden. Pulsierende Materieteilchen, fur welche die Individualitatskorrektur nicht anzubringen ist, uben mechanische Wechselwirkungen auf einander aus, welche dem Vorzeichen nach den mechanischen Wechsehwirkungen elektrischer Teilchen gerade entgegengesetzt sind,
pulsierende Materieteilchen gleicher Phase ziehen einander nach dem
Newtonschen Gesetzean. Nach meiner Theorie der ,, universellen Schwingungen" ist ein Systemvon kompressiblenTeichen, dasin eine unendliche, empirischinkompressibleMaterieeingebettetist, einerSerie von Eigenschwingungen fahig und die Grundschwingung ist eine Pulsation der kompressiblen Teilchen mit gleicher Schwingungsdauer u nd Phase. Diese Grundschwingung soll die mechanische Ursache der Gravitation sein, die kompressiblenTeilchenrind die ,, gravitierenden Teilchen." In jedem Atom gibt es gravitierende, positiv elektrische und negativ elektrische Teilchen, die nach aussen hin die Gravitationswirkungen und die Coulombschen Wirkungen ausuben; im Atome selbst konnen die Wechselwirkungen bei den kleinen Abstanden gauz anderen Gesetzengehorchen; welcher Art diese Wechselwirkungen sein mussen, dafur kann man aus dem Bestehen der chemischen Atome von denen jedes aus einer bestimmten Zahl a gravitierender Teilchen, einer bestimmten Zahl b positiv elektrischer Teilchen, u nd einer bestimmtenZah1c negativ elektrischerTeilchen zusammengesetzt sein muss, gewisseSchlusse ziehen; darauf will ich hier aber nicht naher eingehen. Ich will nur noch einmal besonders hervorheben, dass ich entgegen den heute vielfach herrschenden relativistischen Erklarungen der Gravitation auch far die Gravitation die mechanischeErklarung durch pulsierende,„,gravitierende Teilchen"
gebe, die aber, im Gegensatz zu den elektrischen Teilchen die
Individualitatskorrektur in dem dynamischen Grundgesetze nicht e nthalten. Die elektrischen Teilchen sind daher von der eigentlichen tragen Masse durch die Erhaltung ihrer Individualitat ausgezeichnet, wir konnen gewissermassen die elektrischen Teilchen als scheinbar lebende, die gravitierenden Teilchen als tote Materie bezeichnen, denn nur die erstere erhalt ihre Eigenschwingungen, ihre Individualittat, wahrend dies fur die letztere nicht der Fall ist und z. B. die gravitierenden Teilchen ihre Pulsationsamplituden andern, wenn die


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gegenseitige geometrische Lage der Teilchen sich verandert. Ich habe aus diesem Grunde auch vorausgesagt, dass die Schwere auf der Erde eine andere sein muss, wean sich die Erde im Aphel befindet, als in der Perihel-Lage. Es ist moglich, dass die Unterschiede
gering sind, vielleichit lassen sie rich aber auch durch genaue Messungen festsellen.
Auf Grundlage des Individualitatsprinzips lasst sich die gauze elektromagnetische Theorie, in der Gestalt der Max weli-Hertzschen Gleichungen, bei der anschaulichen Annahme entwickeln, das elektromagnetische Feld durch Geschwindigkeiten
(3)
charakterisiert ist, in denen T eine ausserordentlich kleine Schwin
gungsdauer vorstellt,
den Maxwell-Hertzschen elektrischen Komponenten
und
den Maxwell-Hertzschen magnetischen Komponenten
proportional sind, wahrend
die sogenannten sichtbaren Geschwindigkeiten darstellen. Ich habe nur noch eine weitere Hypothese hinzunehmen mussen, welche nicht prinzipieller Art ist, sondern nur das Vorhandensein eines gewissen Anfangszustandes zu irgend einer Anfangszeit voraussetzt, namlich, dass jede translatorische Geschwindigkeit eines Elektrons mit einer Rotation um eine der Geschwindigkeitsrichtung parallele Axe verbunden ist, die Beziehungen,


398 A. KORN:
(4)
in denen ƒÕ eine Funktion von x, y, z, t and k eine universelle Kon
stante ist. Mit der Annahme, dass diese Gleichungen zu irgend einer
Anfangszeit erfullt sind, ergibt sich ihr Bestehen fur alle spateren
Zeiten, sodass also hier keine prinzipielle Hypothese, sondern nur die
Voraussetzung eines besonderen Anfangszustandes erforderlich ist.
Mit diesem Prinzip des universellen Dralles, das ich schon vor ca.
20 Jahren ausgesprochen habe, haben die neueren Untersuchungen
von Dirac uber den ,electron-spin " eine gewisse Verwandtschaft,
ohne im ubrigen formal durchaus ubercinzustimmen.
Wenn auf diesen mechanischen Grundlagen eine mechanische
Theorie der Gravitation und des elektromagnetischen Feldes aufgebaut
werden konnte, sind neue Untersuchungen fur die Erscheinungen
notwendig geworden, welche heute mit Hilfo der Wellenmechanik
u nd der Quantenmechanik am haufigsten beschrieben werden, so im
besonderen die Theorie der Spektra und die Atomtheorie im allge
meinen, im besonderen die Theorie der De Broglie-W ellen und der
Elektronenbeugung.
Ich will, um in diese Erscheinungen mit mechanischen Theorieen
einzudringen, wiederum von den hydrodynamischen Gleichungen
ausgehen:
(5)
in denen p den Druck, ƒÊ die Dichte, u, v, w die Geschwindigkeiten
fur den Punkt (x, y, z) zur Zeit t darstellen. Es muss zu diesen
Gleichungen noch eine Zustandsgleichung, also eine Relation zwischen
p and ƒÊ hinzutreten, die von der kinetischen Theorie der Gase als das Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz
(6)
anschaulich gemacht wird, in dem T die absolute Temperatur, R die


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sogenanute Gaskonstante vorstellt; dabei wird die absolute Temperatur der mittleren lebendigen Kraft der ungeordneten Gasbewegung pro
portional gesetzt. Die Betrachtungen der kinetischen Gastheorie sind
aber nur unter der Bedingung stichhaltig, dass die Geschwindigkeiten u, v,w klein gegen die mittleren, absoluten ungeordneten Geschwindigkeiten sind, welche zu u v w hinzukommen, und dass man auch nicht mit Schwingungen von ausserordentlich hohen Frequenzen zu rechnen hat; in letzterem Falle kann man wohl verstehen, dass das Gesetz(6) eine Abanderung erfahren wird. Wir wollen aber jedenfalls die Zustandsgleichung in der Form:
(7)
annehmen, wobei wir uns uber die Konstante c noch weitere Voraussetzungen vorbehalten. Um die einfachsten Falle herauszugreifen, werden wir annehmen, (dass die Bewegung ein Geschwindigkeitspotential besitzt, also
(8)
u nd dass auf jedes Teilchen ƒÊdƒÑ Krafte
von solcher Art wirken, dass eine Kraftefunktion ƒÓ vorhanden ist:
(9)
wobei ƒÓ explizit von t frei ist. Dann reduzieren sich die hydrody
namischen Gleichungen auf die eine:
(10)
Der Grundgedanke meiner mechanischen Theorie der Wellenmechanik ist nun der, dass zu den translatorischen Geschwindigkeiten
welche durch die Hamilton-Jacob ische Differentialgleichung:
(11)
Grenz- und Anfangsbedingungen bestimmt sind, in einer neuen An


400 A. KORN :
natherung Schwingungsgeschwindigkeiten hinzukommen konnen, so dass :
(12)
dann ergibt sich fur X die lineare Gleichung :
(13)
und wenn wir
(14)
setzen, fur die Funktionen ƒÓj(x,y,z) die Differentialgleichung :
(15)
Wir wollen der Einfachheit halber nur eine der moglichen Schwin
gungen voraussetzen, mit der Frequenz v0, also die Losung :
(16)
w0 ƒÓ0 der Differentialgleichung :
(17)
genugt. Wenn die Konstante c der Zustandsgleichung
mit v0proportional ist :
(18) dann erhalten wir :
(19)
also die Schrodinger'sche Gleichung der Wellenmechanik. Ist im besonderen die wirkende Kraftefunktion eine Konstante, dann haben wir :
(20)
w0 v0die konstante Anfangsgeschwindigkeit vorstellt. Wir haben in diesem Falle (Fall der De Broglie-Wellen) fur die Trabantellschwingungen eine Wellenlange


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(21)
welche der Geschwindigkeit v0 umgekehrt proportional ist, wie es die
Erfahrung fordert.
In dem Falle einer allgemeinen Kraftefunktion ƒÓ orhalten wir
die Trabantenschwingungen mit Hilfe der Gleichung
(22)
wie in der Wellenmechanik; es ist nur jetzt, bei der mechanischen Auffassung, folgendes zu beachten: Die Kraftefunktion ist bei gegebenen Kraftkomponenten in bezug auf eine additive Konstante willkuArlich, die erst durch Anfangs. bedingungen mit Riicksicht auf(11) bestimmt wird ; denken wir uns also fur ein Teilchen im Atom irgend eine Anfangsgeschwindigkeit v 0, so wird fur jedes v0 sich eine andere Reihe von Eigenschwingungen ergeben ; die Differenzen
werden aber eine ganz bestimmte Reihe ergeben, welche den vor
ausgesetzten Kraftkomponenten zugeordnet sind. Bei beliebigen Anfangsgeschwindigkeiten wurden also die Eigenschwingungen, welche zu den translatorischen Geschwindigkeiten hinzukommen, das ganze Spektrum bedecken, aber die Kombinationsschwingungen, welche den Differenzen der Frequonzen entsprechen, wurden als die spektralen Schwingungen anzusehen sein.
Es erhebt sich nun die Frage : Wie kommt es, dass bei Vorhandensein einer grossen Zahl von Schwingungsserien, die das
gauze Spektrum erfUllen, Schwingungen mit den Frequenzdifferenzen
zustande kommen, eine Frage, deren Beantwortung zugloich die Erklarung der Raman- und Compton-Erscheinungen mit sich bringt.
Man wurde dieser Frage hiltlos gegenuberstehen, wenn man in der theoretischen Physik nur mit linearen Differentialgleichungen operieren wurde, wie man es so lange Zeit getan hat. Wenn man aber in den Gleichungen der mathematischen Physik auch Glieder zweiter Ordnung berucksichtigt, wie es ja auch bei den hydrodynamischen Gleichungen
schon vielfach der Fall ist , dann treten bei der Uberlagerung von
Schwingungen auch stets die Kombinationsschwingungen auf, welche sich durch die Addition und Subtraktion der Frequenzen ergeben .


402 A. KORN :
In den Frequenzdifferenzen
haben wir die Vorzugsserie, welche fur die Erklarung der Spektren der Atome heranzuziehen ist. In einem Punkte haben wir uns von der klassischen Mechanik entfernt, indent wir in der Zustandsgleichung
(23)
die Konstante c bei Vorhandensein einer sehr hohen Frequenz v
(24)
gesetzt, also mit der Frequenz proportional angenommen haben, wahrend bei kleinen Frequenzen
(25)
entsprechend dem Mariotte-Gay-Lussacschen Gesetz anzunehmen ist. Wenn mehrere hohe Frequenzen gleichzeitig vorhanden sind, wind die Annahrme (24) durch eine etwas kompliziertere Annahme zn ersetzen sein, worauf hier noch nicht eingegangen werden soll. Wie konnen wir eine solche Annahme (24) mechanisch begrunden ? Denken wir uns irgend ein Teilchen des in Frage stehenden Mediums, das von allen Seiten bombardiert wird; der Druck wird offenbar einmal mit der Dichte proportional sein, dann mit der mittleren absoluten Geschwindigkeit der auftrefenden Toilchen raid schliesslich mit der Hitufigkeit der Zusarnrneiistdsse. In der kinetischen Gastheoric wird die Haufigkeit der Zusammenstdsse auch wieder mit der mittleren absoluten Geschwindigkeit der auftreffenden Teilchen
proportional, aber unter der Voraussetzung, dass einmal gegen diese
die Geschwindigkeiten u, v, w verhaltnismassig klein sind, and datiss wir nicht mit Schwingungen sehr hoher Frequenz zu rechnen. haben. In letzterem Falle kann die Haufigkeit der Zusammenstosse einem komplizierteren Gesetz gentigen, so, dass die Proportionalitat mit der mittleren absoluten Geschwindigkeit der auftreffenden Teilchen der Proportionalitat mit der Frequenz weicht, wenn diese sehr hoch wird. Wir kommten dann zu einer Zustandsgleichung
(26) in welcher
(27)


MECHANISCHTEHEORIEENIN DER MATHEMATISOHPEHNYSIK. 403
also mit der Frequenz und der Quadratwurzel ass der absolutes Tem
peratur proportional wird. Wir kommen also zu einer mechanischen
Bogrundung gerade der Zustandsgleichung, welche wir fur die me chanische Theorie der Wellenmechanik brauchen. Die Zustandsgleichung (26), (27) kann in nutzlicher Weise auch zur Erklarung der lichtclektrischen Erscheinungen herangezogen werden.