zotero-db/storage/N6LKKC3X/.zotero-ft-cache

This is a reproduction of a library book that was digitized by Google as part of an ongoing effort to preserve the information in books and make it universally accessible.
https://books.google.com

NYPL RESEARCH LIBRARIES 3 3433 06908088 9

Gauss OEH

Curvedi IC) 11/24 DISQUISITIONES GENERALES
CIRCA SUPERFICIES CURVAS
AUCTORE CAROLO FRIDERICO GAUSS.
LIBRARY STOR
JEW -YORK GOTTINGAE
TYPIS DIETERICHIA NI S. MDDCCCC C XX VIII.

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA
SUPERFICIES CURVAS
AUCTORE CAROLO FRIDERICO GAUSS. SOCIETATI REGIA E OBLATA E D. 8. остов . 1827.

1.

Disquisitiones , in quibus de directionibus variarum rectarum in spatio agitur , plerumque ad maius perspicuitatis et simplicitatis fastigium euehuntur , in auxilium vocando superficiem sphaericam

radio = 1 circa centrum arbitrarium descriptam , cuius singula puncta repraesentare censebuntur directiones rectarum radiis ad

illa terminatis parallelarum. Dum situs omnium punctorum in spa-

tio per tres coordinatas determinatur , puta per distantias a tribus

planis fixis inter se normalibus , ante omnia considerandae veniunt directiones axium his planis normalium : puncta superficiei sphaericae , quae has directiones repraesentant , per ( 1 ) , (2) , (3) denotabimus ; mutua igitur horum distantia erit quadrans. Ceterum

axium directiones versus eas partes acceptas supponėmus , versus

quas coordinatae respondentes crescunt.

A2

4

CAROLI FRIDERICI GAUSS

2.
Haud inutile erit , quasdam propositiones , quae in huiusmodi quaestionibus vsum frequentem offerunt , hic in conspectum producere .
I. Angulus inter duas rectas se secantes mensuratur per arcum inter puncta , quae in superficie sphaerica illarum directionibus respondent.
II. Situs cuiuslibet plani repraesentari potest per circulum maximum in superficie sphaerica , cuius planum illi est parallelum.
III. Angulus inter duo plana aequalis est angulo sphaerico inter circulos maximos illa repraesentantes , et proin etiam per arcum inter horum circulorum maximorum polos interceptum mensuratur. Et perinde inclinatio rectae ad planum mensuratur per arcum , a puncto , quod respondet directioni rectae , ad circulum maximum , qui plani situm repraesentat , normaliter ductum .
IV. Denotantibus x , y, z; x , y , z' coordinatas duorum punctorum , r eorundem distantiam , atque L punctum , quod in superficie sphaerica repraesentat directionem rectae a puncto priori ad posterius ductae , erit
x = x + r cos (1 ) L y = yr cos (2) L z = z + r cos (3) L V. Hinc facile sequitur , haberi generaliter cos ( 1 )L2 + cos (2 ) L2 + cos (3) L² = 1 nec non , denotante L' quodcunque aliud punctum superficiei sphaericae , esse
cos (1) L. cos (1 ) L' + cos (2 ) L. cos (2 ) L' + cos (3) L. cos (3) L' = cos LL
VI. THEOREMA. Denotantibus L , L' , L" , L" quatuor puncta in superficie sphaerae , atque A angulum , quem arcus LL, L" L" in puncto concursus sui formant , erit cos LL". cos L'L" -cos LL" . cos L'L" — sin L L' . sin L" L" .cos A

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES БТС. 5

Demonstratio. Denotet litera A insuper punctum concursus

ipsum , statuaturque AL = t , AL' = ť′ , AL" = t″ , AL"" = ť""

Habemus itaque :

cos LL"

cos t. cost" + sint sin t" cos A

cos L'L"" = cost cost"" + sin t' sin t" cos

cos LL"" = cost cost" + sint sinť" cos A

cos L'L"

cost cost" + sin ť sin ť" cos A

et proin

cos L L" . cos L'L" -cos LL" . cos L'L" cos A( cost cost" sin t' sint "

+ cost cos t" sin t sin t"-cost cos t" sin t' sint" -cos t'cos t" sin tsin t")

cos (cost sin t - sint cost) (cost" sin t" -- sin ť" sin t")

= cooss A.sin (t' -— t)) . sin (t″” —ť″ ) cos A. sin LL' . sin L" L"

Ceterum quum inde a puncto A bini rami vtriusque circuli maximi proficiscantur , duo quidem ibi anguli formantur , quorum alter alterius complementum ad 180 ° : sed analysis nostra monstrat , eos ramos adoptandos esse , quorum directiones cum sensu progressionis a puncto L ad L' , et a puncto L" ad L" consentiunt : quibus intellectis simul patet , quum circuli maximi duobus punctis concurrant , arbitrarium esse , vtrum eligatur. Loco anguli etiam arcus inter polos circulorum maximorum , quorum partes sunt arcus LL, L'L"" , adhiberi potest : manifesto autem polos tales accipere oportet,
qui respectu horum arcuum similiter iacent , puta vel vterque polus ad dextram iacens , dum a L versus L ' atque ab L" versus L" procedimus , vel vterque ad laeuam .
VII. Sint L, L, L" tria puncta in superficie sphaerica , statuamusque breuitatis caussa
cos (1) L = x, cos (2) Ly , cos (3) L = z cos ( 1)L' =x', cos (2) L' = y' , cos (3) L' = z′ cos ( 1 ) L" x", cos (2 ) L" y", cos ( 3) L″ = z″

www

6

CAROLI FRIDERICI GAUSS

nec non

xyʻz″ + x′y″ z + xyz"

xyz- xyz" -xx"y'z = A

Designet polum circuli maximi , cuius pars est arcus LL' , et qui-

dem eum , qui respectu huius arcus similiter iacet , ac punctum ( 1 )

respectu arcus ( 2 ) ( 3 ) . Tunc erit , ex theoremate praecedente,

yz' — y'z = cos (1 ) λ. sin (2) (3). sin L L' , siue , propter (2 ) ( 3) = 90 ° , -
y z — yʻz = cos (1 ) λ . sin LL, et perinde

zx′ — z'x = cos (2) λ.. sin LL ' --
xy' — x''yy = cos ( 3) λ . sin LĽ

Multiplicando has aequationes resp . per x", y", z" et addendo , obtinemus adiumento theorematis secundi in V prolati
A cos λL" , sin LL

lam tres casus sunt distinguendi. Primo , quoties L" iacet in eodem circulo maximo cuius pars est arcus LL', erit λL" 90 °, adeoque A = 0. Quoties vero L" iacet extra circulum illum maximum,

aderit casus secundus , si est ab eadem parte , a qua est λ , tertius, si ab opposita : in his casibus puncta L, L, L '" formabunt triangulum sphaericum , et quidem iacebunt in casu secundo eodem or-

dine quo puncta ( 1 ) , ( 2 ) , (3 ) , in casu tertio vero ordine opposito. Denotando angulos illius trianguli simpliciter per L, L, L" , atque perpendiculum in superficie sphaerica a puncto L" ad latus LL ductum per p , erit sin p = sin L. sin LL" = sin L' . sin L'L'",

atque λL" = 90°

p , valente signo superiori pro casu secundo,

inferiori pro tertio . Hinc itaque colligimus

A sin L. sin LL . sin L L" — sin L' . sin LL' . sin L'L sin L" . sin L L" . sin L'L"

Ceterum manifesto casus primus in secundo vel tertio comprehendi

censeri potest , nulloque negotio perspicitur,

A exhibere sextu-

plum soliditatis pyramidis inter puncta L , L , L" atque centrum

sphaerae formatae . Denique hinc facillime colligitur , eandem ex-

pressionemA generaliter exprimere soliditatem cuiusuis pyra-

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC ' 7
midis inter initium coordinatarum atque puncta quorum coordinatae sunt x , y , z ; x′, y' , z'; x″ , y", z", contentae.

3.

Superficies curua apud punctum

in ipsa situm curuatura

continua gaudere dicitur , si directiones omnium rectarum ab ✅ ad omaia puncta superficiei ab A infinite parum distantia ductarum in-

finite parum ab vno eodemque plano per A transiente deflectuntur :

hoc planum superficiem curuam in puncto A tangere dicitur. Quodsi huic conditioni in aliquo puncto satisfieri nequit , continuitas curua-

turae hic interrumpitur , vti e. g. euenit in cuspide coni. Disquisitiones praesentes ad tales superficies curuas , vel ad tales superficiei partes , restringentur , in quibus continuitas curuaturae nullibi

interrumpitur. Hic tantummodo obseruamus , methodos , quae positioni plani tangentis determinandae inseruiunt, pro punctis singularibus , in quibus continuitas curuaturae interrumpitur , vim suam perdere , et ad indeterminata perducere debere.

4. Situs plani tangentis commodissime e situ rectae ipsi in puncto A normalis cognoscitur , quae etiam ipsi superficiei curuae normalis dicitur. Directionem huius normalis per punctum L in superficie sphaerae auxiliaris repraesentabimus , atque statuemus cos (1) LX , cos ( 2) LY, cos (3) L = Z;
coordinatas puncti A per x , y , z denotamus. Sint porro x + dx, y + dy , z + dz coordinatae alius puncti in superficie curua A '; ds ipsius distantia infinite parua ab A; denique & punctum superficiei sphaericae repraesentans directionem elementi A' . Erit itaque

dx = ds.cos ( 1 ) λ , dy = ds.cos (2) λ , dz = ds . cos (3) λ

et , quum esse debeat λL 90 °,

Xcos (1)

Ycos ( 2) λ + Zcos (3) λ = 0

8

CAROLI FRIDERICI GAUSS

E combinatione harum aequationum deriuamus Xda + Ydy + Zdz = 0 . Duae habentur methodi generales ad exhibendam i
superficiei curuae. Methodus prima vtitur aequatione inter natas x , y , z , quam reductam esse supponemus ad formum vbi Werit functio indeterminataram x , y, z. Sit differential

pletum functionis W dW = Pdx + Qdy + Rdz

eritque in superficie curua PdxQdy + Rdz 0
et proin Pcos (1) + Qcos (2) λ + Rcos (3) λ = 0

Quum haec aequatio , perinde vt ea quam supra stabiliuimus lere debeat pro directionibus omnium elementorum ds in supe curua , facile perspiciemus, X, Y, Z proportionales esse debere P , Q, R , et proin, quum fiat XX + YY + ZZ = 1 , er

P

Q

X=

,

√ (PP + QQ + RR) ' Y = √ (PP + QQ +1

Ꭱ 2=
√ (PP + QQ +
vel

X=

P

--

е

Y

√ (PP + QQ + RR)'

= √ (PP + QQ + R

Z=

-R

√ (PP + QQ + R

Methodus secunda sistit coordinatas in forma functionum d

rum variabilium p , q. functionum prodire

Supponamus per differentiationem har

dx = adp + adq dy = bdp + b'dq dz = cdp + c'dq

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC. 9

quibus valoribus in formula supra data substitutis , obtinemus

(ax + by + cZ) dp + ( a X + b' Y + c' Z) dq = 0

Quum haec aequatio locum habere debeat independenter a valoribus differentialium dp , dq , manifesto esse debebit

aX + bY + c Z = 0 , a X + b' Y + c Z = 0

vnde colligimus , X, Y, Z proportionales esse debere quantitatibus

b c - cơ , cả

ac , ab bá

Statuendo itaque breuitatis caussa

√ ( (bc — cb' )²

+

(ca

-

ac') ²

+

(ab'

—

bá ) ² ) =

A

erit vel

bc'

cb'

ca

ac

ab - bá

X=

Y=

2=

A

A

A

vel

cb' ― be

ac' - cá

ba - απ'

X=

9 Y=

" 2=

A

A

A

His duabus methodis generalibus accedit tertia , vbi vna coor-

dinatarum , e. g. z exhibetur in forma functionis reliquarum x , y : haec methodus manifesto nihil aliud est , nisi casus specialis vel

methodi primae , vel secundae . Quodsi hic statuitur dz tdx + udy

erit vel

X=

t

---- u

1

Y=

Z=

√ (1 + tt + uu) ' vel

√ (1 + tt + uu) '

√ (1 + ttu u)

t X=

u Y=

-- 1

√ (1 + tt + uu) '

√ (1 + i + uu) , Z = √ (1 + ti + uu)

5. Duae solutiones in art. praec. inuentae manifesto ad puncta superficiei sphaericae opposita , siue ad directiones oppositas refe-
B

10

CAROLI FRIDERICI GAUSS

runtur , quod cum rei natura quadrat , quum normalem ad vtramuis plagam superficiei curuae ducere liceat. Quodsi duas plagas , su-
perficiei contiguas , inter se distinguere , alteramque exteriorem alteram interiorem vocare placet , etiam vtrique normali suam solutionem rite tribuere licebit adiumento theorematis in art. 2 (VII) euoluti , simulatque criterium stabilitum est ad plagam alteram ab altera distinguendam.
In methodo prima tale criterium petendum erit a signo valoris quantitatis W. Scilicet generaliter loquendo superficies curua eas spatii partes , in quibus W valorem positiuum obtinet , ab iis dirimet, in quibus valor ipsius W fit negatiuus. E theoremate illo vero facile colligitur , si W valorem positiuum obtineat versus plagam exteriorem , normalisque extrorsum ducta concipiatur , solutionem priorem adoptandam esse. Ceterum in quouis casu facile diiudicabitur , vtrum per superficiem integram eadem regula respectu signi ipsius W valeat , an pro diuersis partibus diuersae : quamdiu coefficientes P , Q, R valores finitos habent , nec simul omnes tres euanescunt , lex continuitatis vicissitudinem vetabit.
Si methodum secundam sequimur , in superficie curua duo systemata linearum curuatum concipere possumus , alterum , pro quo p est variabilis , q constans ; alterum , pro quo q variabilis , p constans : situs mutuus harum linearum respectu plagae exterioris decidere debet , vtram salutionem adoptare oporteat. Scilicet quoties tres lineae , puta ramus lineae prioris systematis a puncto A proficiscens crescente p , ramus posterioris systematis a puncto A egrediens crescente q , atque normalis versus plagam exteriorem ducta similiter iacent , vt , inde ab origine abscissarum , axes ipsarum x , y, z resp. (e. g. si tum e tribus lineis illis , tum e tribus his, prima sinistrorsum , secunda dextrorsum , tertia sursum directa concipi potest) , solutio prima adoptari debet; quoties autem situs mutuus trium linearum priorum oppositus est situi mutuo axium ipsarum x, y , z , solutio secunda valebit.

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

11

In methodo tertia dispiciendum est , vtrum , dum z incrementum positiuum accipit , manentibus x et y inuariatis , transitus fiat versus plagam exteriorem an interiorem. In casu priori , pro normali extrorsum directa , solutio prima valet , in posteriori secunda.

6.
Sicuti , per translatam directionem normalis in superficiem curtam ad superficiem sphaerae , cuiuis puncto determinato prioris superficiei respondet punctum determinatum in posteriori , ita etiam quaeuis linea , vel quaeuis figura in illa repraesentabitur per lineam vel figuram correspondentem in hac. In comparatione duarum fi-
gurarum hoc modo sibi mutuo correspondentium , quarum altera quasi imago alterius erit , duo momenta sunt respicienda , alterum , quatenus sola quantitas consideratur , alterum , quatenus abstrahendo a relationibus quantitatiuis solum situm contemplamur.
Momentum primum basis erit quarundam notionum , quas in doctrinam de superficiebus curuis recipere vtile videtur . Scilicet cuilibet parti superficiei curuae limitibus determinatis cinctae curvaturam totalem seu integram adscribimus , quae per aream figurae illi in superficie sphaerica respondentem exprimetur. Ab hac curuatura integra probe distinguenda est curuatura quasi specifica, quam nos mensuram curuaturae vocabimus : haec posterior ad punctum superficiei refertur , et denotabit quotientem qui oritur , dum curuatura integra elementi superficialis puncto adiacentis per aream ipsius elementi diuiditur , et proin indicat rationem arearum infinite paruarum in superficie curua et in superficie sphaerica sibi mutuo respondentium . Vtilitas harum innouationum per ea , quae in posterum a nobis explicabuntur , abunde, vt speramus , sancietur. Quod vero attinet ad terminologiam , imprimis prospiciendum esse duximus , vt omnis ambiguitas arceatur , quapropter haud congruum putauimus , analogiam terminologiae in doctrina de lineis curuis planis vulgo receptam (etsi non omnibus probatam) stricte sequi , secun-
B2

12

CAROLI FRIDERICI GAUSS

dum quam mensura curuaturae simpliciter audire debuisset curuatura , curuatura integra autem amplitudo . Sed quidni in verbis faciles esse liceret , dummodo res non sint inanes , neque dictio interpretationi erroneae obnoxia ?

Situs figurae in superficie sphaerica vel similis esse potest situi figurae respondentis in superficie curua , vel oppositus ( inuersus) ; casus prior locum habet , vbi binae lineae in superficie curua ab eodem puncto directionibus inaequalibus sed non oppositis proficiscentes repraesentantur in superficie sphaerica per lineas similiter iacentes , puta vbi imago lineae ad dextram iacentis ipsa est ad dextram ; casus posterior , vbi contrarium valet. Hos duos casus
per signum mensurae curuaturae vel positiuum vel negatiuum distinguemus. Sed manifesto haec distinctio eatenus tantum locum habere potest , quatenus in vtraque superficie plagam determinatam eligimus , iu qua figura concipi debet. In sphaera auxiliari semper plagam exteriorem , a centro auersam, adhibebimus : in superficie curva etiam plaga exterior siue quae tamquam exterior consideratur, adoptari potest , vel potius plaga eadem , a qua normalis erecta concipitur ; manifesto enim respectu similitudinis figurarum nihil mutatur , si in superficie curua tum figura ad plagam oppositam transfertur , tum normalis , dummodo ipsius imago semper in eadem plaga superficiei sphaericae depingatur.
Signum positiuum vel negatiuum , quod pro situ figurae infinite paruae mensurae curuaturae adscribimus , etiam ad curuaturam integram figurae finitae in superficie curua extendimus. Attamen si
argumentum omni generalitate amplecti suscipimus , quaedam dilucidationes requiruntur , quas hic breuiter tantum attingemus. Quamdiu figura in superficie curua ita comparata est , vt singulis punctis. intra ipsam puncta diuersa in superficie sphaerica respondeant , definitio vlteriori explicatione non indiget. Quoties autem conditio ista locum non habet , necesse erit , quasdam partes figurae in su

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

13

perficie sphaerica bis vel pluries in computum ducere , vnde , pro situ simili vel opposito , vel accumulatio vel destructio oriri poterit. Simplicissimum erit in tali casu , figuram in superficie curua in partes tales diuisam concipere , quae singulae per se spectatae conditioni illi satisfaciant , singulis tribuere curuaturam suam integram , quantitate per aream figurae in superficie sphaerica respondentis, signo per situm determinatis , ac denique figurae toti adscribere curuaturam integram ortam per additionem curuaturarum integrarum , quae singulis partibus respondent. Generaliter itaque curuatura integra figurae est fkdo , denotante do elementum areae figurae , mensuram curuaturae in quouis puncto. Quod vero attinet ad repraesentationem geometricam huius integralis, praecipua huius rei momenta ad sequentia redeunt. Peripheriae figurae in superficie curua (sub restrictione art. 3) semper respondebit in superficie sphaerica linea in se ipsam rediens. Quae si se ipsam nullibi intersecat, totam superficiem sphaericam in duas partes dirimet , quarum altera respondebit figurae in superficie curua , et cuius area , positiue vel negatiue accipienda , prout respectu peripheriae suae similiter iacet vt figura in superficie curua respectu suae , vel inuerse , exhibebit posterioris curuaturam integram. Quoties vero linea ista se ipsam semel vel pluries secat , exhibebit figuram complicatam , cui tamen area certa aeque legitime tribui potest , ac figuris absque nodis, haecque area , rite intellecta , semper valorem iustum curuaturae integrae exhibebit . Attamen vberiorem huius argumenti de figuris generalissime conceptis expositionem ad aliam occasionem nobis reseruare debemus.

7. Inuestigemus iam formulam ad exprimendam mensuram curuaturae pro quouis puncto superficiei curuae. Denotante do aream elementi huius superficiei , Zdo erit area proiectionis huius elementi in planum coordinatarum x , y ; et perinde , si dΣ est area elementi

14

CAROLI FRIDERICI GAUSS

respondentis in superficie sphaerica , erit ZdΣ area proiectionis

ad idem planum : signum positiuum vel negatiuum ipsius Z vero

indicabit situm proiectionis similem vel oppositum situi elementi

proiecti : manifesto itaque illae proiectiones eandem rationem quoad

quantitatem , simulque eandem relationem quoad situm , inter se tenent , vt elementa ipsa . Consideremus iam elementum triangulare

in superficie curua , supponamusque coordinatas trium punctorum ,

quae formant ipsius proiectionem , esse

2,

y

x + dx , y + dy

x + dy , y + dy

Duplex area huius trianguli exprimetur per formulam dx.dydy.dx

et quidem in forma positiua vel negatiua , prout situs lateris a puncto primo ad tertium respectu lateris a puncto primo ad secundum similis vel oppositus est situi axis coordinatarum y respectu axis coordinatarum x.

Perinde si coordinatae trium punctorum , quae formant proiectionem elementi respondentis in superficie sphaerica , a centro sphaerae inchoatae , sunt

X,

Y

X + dX, Y + dy

X + dX, Y + dr

duplex area huius proiectionis exprimetur per dx . dr dr . dx

de cuius expressionis signo eadem valent quae supra.
mensura curuaturae in hoc loco superficiei curuae erit dx.dYdy . dx
k = dx.dỷ - dy . dx

Quocirca

Quodsi iam supponimus , indolem superficiei curuae datam esse se-

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

15

cundum modum tertium in art. 4 consideratum , habebuntur X et Y

in forma functionum quantitatum x , y , vnde erit

dx =

dY dx

dX
dy dax + ( 1 dy)

dx = dy =

dx dx + (1 ) dy

dY

dx +

dx

(1 ) dy

dr = ( 1dx) dx + (1 ) dy

Substitutis his valoribus , expressio praecedens transit in hanc :
dY k=
(1) (1 y) - ( 1 y) ( 1 dx)
Statuendo vt supra

dz

dz

= t,

=u

dx

dy

atque insuper

adz

ddz

ddz

= T,

= U,

=V

dx2

dx.dy

dy2

siue dt Tdx + Udy , du

Udx + Vdy

habemus ex formulis supra datis X = -tZ , TuZ , (1 + tt + uu) ZZ = 1
atque hinc dX = - Zdt - tdz dY = - Zdu - ud Z

siue

(1 + tt + uu) dZ + Z (tdt + udu) = 0

dZ = dx = dY: -

Z3 (tdt

udu)

Z³ (1 + uu) dt + Z³ tudu

Z3 tudt

Z³ (1

+

tt) du

16

CAROLI FRIDERICI GAUSS

adeoque

dX
= Z³ (− (1 + uu) T + tu U) · dx

dX
= Z³ ( − (1 + uu) U + tuV) dy

dY
= Z3 (tu T- (1+ tt) U) dx

dy
= Z3 (tu U- (1 + tt) V) dy

quibus valoribus in expressione praecedente substitutis , prodit

k = Zº ( TV — UU) ( 1 + tt + uu) = Z4 (TV —

TV

UU

=

(1 + tt + uu)²

8. Per idoneam electionem initii et axium coordinatarum f

effici potest , vt pro puncto determinato A valores quantitatum U euanescant. Scilicet duae priores conditiones iam adimpler

si planum tangens in hoc puncto pro plano coordinatarum a adoptatur. Quarum initium si insuper in puncto A ipso colloca manifesto expressio coordinatarum z adipiscitur formam talem

z = 1 T° xx + U ° xy + { V ° yy + Q vbi 2 erit ordinis altioris quam secundi. Mutando dein sit

axium ipsarum x , y angulo M tali vt habeatur

2 U°

tang 2 M =

To

V

facile perspicitur , prodituram esse aequationem huius formae

z = Txx + { Vÿ y + £ quo pacto etiam tertiae conditioni satisfactum est. ctis , patet

Quibus ita

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

17

I. Si superficies curua secetur plano ipsi normali et per

axem coordinatarum x transeunte , oriri curuam planam , cuiuś ra-

1

dius curuaturae in puncto A fiat =

, signo positiuo vel nega-

T

tiuo indicante concauitatem vel conuexitatem versus plagam eam,

versus quam coordinatae z sunt positiuae.

1

II. Simili modo

erit in puncto A radius curuaturae cur-

Ꮴ

vae planae , quae oritur per sectionem superficiei curuae cum plano per axes ipsarum y, z transeunte.
III. Statuendo xr cos , y = r sin , fit

z = ½ ( T cos Q² + sin ²) rr + £ vnde colligitur , si sectio fiat per planum superficiei in

normale

et cum axe ipsarum x angulum efficiens , oriri curuam planam , cuius radius curuaturae in puncto sit

1 T cos 2+

sin 2

IV. Quoties itaque habetur TV , radii curuaturae in cunctis planis normalibus aequales erunt. Si vero T et sunt inaequales , manifestum est , quum Tcos 2+ V sin 2 pro quouis valore anguli cadat intra T et V, radios curuaturae in sectionibus principalibus , in I et II consideratis , referri ad curuaturas extremas , puta alterum ad curuaturam maximam , alterum ad minimam , si T' et eodem signo affectae sint , contra alterum ad maximam conuexitatem , alterum ad maximam concauitatem , si T et V signis , oppositis gaudeant. Hae conclusiones omnia fere continent , quae ill. Euler de curuatura superficierum curuarum primus docuit.
V. Mensura curuaturae superficiei curuae in puncto autem nanciscitur expressionem simplicissimam k = TV, vnde habemus
THEOREMA. Mensura curuaturae in quouis superficiei puncto aequalis est fractioni , cuius numerator vnitas , denominator au-
C

18

CAROLI FRIDERICI GAUSS

tem productum duorum radiorum curuaturae extremorum in sectionibus per plana normalia.
Simul patet , mensuram curuaturae fieri positiuam pro superficiebus concauo - concauis vel conuexo - conuexis (quod discrimen non est essentiale) , negatiuam vero pro concauo - conuexis. Si superficies constat e partibus vtriusque generis , in earum confiniis mensura curuaturae euanescens esse debebit. De indole superfi-
cierum curuarum talium , in quibus mensura curuaturae vbique euanescit , infra pluribus agetur.

9.

Formula generalis pro mensura curuaturae in fine art. 7 proposita , omnium simplicissima est , quippe quae quinque tantum elementa implicat ; ad magis complicatam , scilicet nouem elementa inuoluentem , deferimur , si adhibere volumus modum primum indolem superficiei curuae exprimendi. Retinendo notationes art. 4.

insuper statuemus :

ddw

ddw

ddw

= P', dx2

= &', dy2

=R dz2

dd W

ddw

dd W

dy.dz

= P",

dx.dz = Q",

= R" dx.dy

ita vt fiat

dP = P'dx + R″dy + Q″ dz dQ = R"dx + Q'dy + P'dz

dR = Q″dx + P"dy + R'dz

P

Iam quum habeatur t-

" inuenimus per differentiationem

R

RRdt- RdP+ PdR = (PQ" —R P′) dx + (PP" —RR" ) dy

+ (PR' — RQ″ ) dz ,

siue , eliminata dz adiumento aequationis Pdx + Qdy + Rdz = 0,

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

19

R³ dt = (— RRP′ + 2 PRQ" — PPR) dx + (PRP" + QRQ" — PQR — RRR" ) dy.
Prorsus simile modo obtinemus

R³ du = (PRP" + QRQ” —PQR' — RRR”) dx + (→ RRQ ' + 2QRP" — QQR ) dy

Hinc itaque colligimus

R³ T — —

RRP

+

2PRQ"

·

PPR

R³ U = PRP"' + QRQ" — PQR — R R R"

R³ V = -- RRQ

2QRP" — QQ R'

Substituendo hos valores in formula art. 7 , obtinemus pro mensura

curuaturae expressionem symmetricam sequentem :
(PP + QQ + R R) ² k =
PP (Q'R' —P"P"') + QQ (P'R' — Q″ Q″ ) + RR (PQ' — R″ R")
+ 2QR (Q″ R" —P'′P" ) + 2PR (P'R' —Q'Q" ) + 2PQ (P" Q" — R'R")

10.

Formulam adhuc magis complicatam , puta e quindecim elementis conflatam , obtinemus , si methodum generalem secundam, indolem superficierum curuarum exprimendi , sequimur. Magni tamen momenti est , hanc quoque elaborare . Retinendo signa art. 4, insuper statuemus

ddx

ddr

ddx

Ξα ,

= α,

= α"

dp²2

dp.dq

dq2

ddy

ddy

ddy

dp²

= B,

= B',

dp.dq

2 d q²

ddz

ddz

ddz

= ',

= '',

= y"

dp2

dp.dq

dq²

Praeterea breuitatis caussa faciemus

bccb = A

cá - ac

B

abbá = C

C2

20

CAROLI FRIDERICI GAUSS

Primo obseruamus , haberi Adx + Bdy + Cdz = 0 , siue dz

A

B

dx -

dy; quatenus itaque z spectatur tamquam

C

C

functio ipsarum x , y, fit

710

dz

=

-

dx

dz

B

=U dy

Porro deducimus , ex dx = adp + adq , dy = bdp + b'dq,

-

Cdp = b'dx

ady

1

Cdq

bdx + ady

Hinc obtinemus differentialia completa ipsarum t , u

dC

d.

C3 d t = A

(10 d€p - c 4) (bdx — ády)

dA +Є
dq

A

- ady)

1dC ) (bdx

C3 du =

dC

В

ady)

dp - c² ) (b'dx

dB + (c dq

В

-

d dqC) (bdx — ady

Iam si in his formulis substituimus

८

dA -
= c'ß + bý y — cß' - b'y dp
dA = " B′ + boy" — cß" — bý
dq
dB = ay + cαa — - ay. — ca
dp
dB
= ay' + ca" — ay" — cá dq

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

21

dC
= b'a + a ß' dp

ba

άβ

dC

-

-

= b'a + aß″ — ba″ ·ά' β'

dq

atque perpendimus , valores differentialium dt , du sic prodeuntium , aequales esse debere , independenter a differentialibus dx , dy, quantitatibus Tdx + Udy , Udx + Vdy resp. inueniemus, post quasdam transformationes satis obuias

C3 Ta Ab'b' + ß B b b + y Cb b -- 2a Abb - 2B'Bbb2Cbb'

CC³3 U

+ d'Abb + В"В %% + %" Съъ aα Aab' - BBab - yCab

+ a'A (ab' +ba') + B′B (ab' + b a') + y'C(ab' +ba')

" Aab

"Bab - " Cab

C3 V

αAá á + ßBá á + y ¤'a' a' - 2a Aaa - 26'Baa Cande 24 Caa + a"Aaa + B"Baa + " Caa

Si itaque breuitatis caussa statuimus

Aa + BB + Cy = D .. • · · • (1)

Aď + BB′ + Cy′ = D'

• · • (2)

đá + BB + C

· =D

• • (3)

fit

C3 T Dbb - 2 D'bb' + D" bb -

C³ U =- Da'b' + D' (ab′ + ba′) — D'ab

-

C³ V = Dá á

2 D'aa' + D'aa

Hinc inuenimus , euolutione facta,

C (TV - UU ) = (DD − D D ) (@ b –ba ) = (DD_DD ) CC
et proin formulam pro mesura curuaturae
DD" --- D'D' k=
(AA + BB + CC) ²

22

CAROLI FRIDERICI GAUSS

11.

Formulae modo inuentae iam aliam superstruemus , quae inter

fertilissima theoremata in doctrina de superficiebus curuis referenda est. Introducamus sequentes notationes :
aa + bb + cc = E

aa + bb' + cc = F

a' a + b' b' +`c' c′ = G

aa + 03 tay = m • • • · · (4)

cá tơ ớ cá tơ b

t có +c

· m
" =m •

• (5) (6)

á a + b² ß + c y = n ·

(7)

á a + b'B' + c''y = n' ·

• (8)

á a" + b' ß" + c'y" = nn″"

·

(9)

AA + BB + CC = EG - FFA

Eliminemus ex aequationibus 1 , 4 , 7, quantitates B , y, quod

fit multiplicando illas per

be—

cb' , b'C

c'B , CcB - - bc, et

addendo : ita oritur

(A(bc′ — cb') + a (b′ C — c′ B) + a' (c B — b C) ) a

= D (bc′ — cb') + m ( b′ C — c′ B) + n ( cB — bC) quam aequationem facile transformamus in hanc :

AD = a ▲ + a (n F — mG) + a' (mF . n E)

Simili modo eliminatio quantitatum a , y vel a , ß ex iisdem ae-

quationibus suppeditat

-

-

BD = BA + b (nF mG) + b(m F

n E)

CD = A + c (nF — mG) + c' (mF — nE)

Multiplicando has tres aequationes per a", B", y" et addendo obtinemus

DD" = (aa″ + ßß" + yy″ ) A + m” (nF — mG) + n" (mF— nE)….… (10)

Si perinde tractamus aequationes 2 , 5 , 8 , prodit AD′ = a' A ▲ + a (n′F — m' G) + a' (m' F -- n' E)

BD' = B'A + b (n''F — m' G) + b' (m' F '

n' E)

CD = YA A + c (n'F

m' G) + c' (m' F - n' E)

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

23

quibus aequationibus per a', ' , ' multiplicatis , additio suppeditat :

D'D' = ( α'a' + B'B' + y' y' ) A + m² (n'F — m'G) + n' (m'F— n' E)

Combinatio huius aequationis cum aequatione ( 10) producit

DD" — D' D′ = (α c″ + BB″ + gy" -—-- á á -— B'B' — ŸŸ') A
+ E (n''n — nn") + F (nm " — 2 m'n' + mn" ) + G (m'm' — mm")

dE

dE

Iam patet esse

= 2m,

dp

dq

dF

dF

2m

,

Jp dp

=

m²

+

n,

dq

= m"

+

n,

m=

dE dq

dG

dG

= 21',

= 2 n", siue

dp

dq

m² =

dE

dF

dG

9 m" = dq

dq

- 1 ap

dF
-n=
dq

dE

dG

dG

n = 1/1

n" = 11/24

dq

dp '

dq

Porro facile corfirmatur , haberi
aa” + BB” + yg” — á''á — B'B' —ý'g' =

dn -
dq

dn' dm" =
dp dp

=-

dd E

dd F

•

+

dq2

dp.dq

dd G dp2

dm' dq

Quodsi iam has expressiones diuersas in formula pro mensura curvaturae in fine art. praec. eruta substituimus , peruenimus ad formu-

lam sequentem , e solis quantitatibus F, F, G atque earum quotientibus differentialibus primi et secundi ordinis concinnatam :

4 (E G — F F) ² k = E

dE dG

JF dG

dG 2

•

-2

•

+

d a dq

dp dq

(dp))

dE dG
+F (dF p dq

dE dG •
dq dp

dE dF

2

·

dq dq

dF dF

+4

•

dp dq

dF dG

2

•

dp dp

+G

dE dG

dE d F

dE 2

•

-2

+

dp dp

dpdq

24

CAROLI FRIDERICI GAUSS

ddE

dd F

ddG

-2 (EG - FF) (

-2

+

dp.dq

dp²

12. Quum indefinite habeatur

dx² + dy² + dz² = Edp² + 2Fdp.dq + Gd q²,

patet ,

(Edp² + 2Fdp.dq + Gdq² ) esse expressionem ge-

neralem elementi linearis in superficie curua. Docet itaque analy-

sis in art. praec. explicata , ad inueniendam mensuram curuaturae

haud opus esse formulis finitis , quae coordinatas x , y, z tamquam

functiones indeterminatarum p , q exhibeant , sed sufficere expres-

sionem generalem pro magnitudine cuiusuis elementi linearis. Progrediamur ad aliquot applicationes huius grauissimi theorematis.
Supponamus superficiem nostram curuam explicari posse in aliam superficiem , curuam seu planam , ita vt cuiuis puncto prioris superficiei per coordinatas x , y , z determinato respondeat punctum determinatum superficiei posterioris , cuius coordinatae sint x', y', z'. Manifesto itaque x , y , z quoque considerari possunt tamquam functiones indeterminatarum p , q , vnde pro elemento V (dx'² + dy'²
dz2 ) prodibit expressio talis

√ (E'dp² + 2 F'dp.dq + G'd q² ) denotantibus etiam E', F', G' functiones ipsarum p , q. At per ipsam notionem explicationis superficiei in superficiem patet , elementa in vtraque superficie correspondentia necessario aequalia esse, adeoque identice fieri

E = E' , F = F', G = G'.

Formula itaque art. praec. sponte perducit ad egregium

THEOREMA. Si superficies curua in quamcunque aliam superficiem explicatur , mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet.

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

25

Manifesto quoque quaeuis pars finita superficiei curuae post
explicationem in aliam superficiem eandem curuaturam integram retinebit.

Casum specialem , ad quem geometrae hactenus inuestigationes

suas restrinxerunt , sistunt superficies in planum explicabiles. Theoria nostra sponte docet , talium superficierum mensuram curuaturae in

quouis puncto fieri = 0 , quocirca , si earum indoles secundum modum tertium exprimitur , vbique erit

ddz ddz -
dx2 . dy2

ddz da ay

=0

quod criterium , dudum quidem notum , plerumque nostro saltem iudicio haud eo rigore qui desiderari posset demonstratur.

13 .

Quae in art. praec. exposuimus , cohaerent cum modo peculiari superficies considerandi , summopere digno , qui a geometris

diligenter excolatur. Scilicet quatenus superficies consideratur non

tamquam limes solidi , sed tamquam solidum , cuius dimensio vna pro euanescente habetur , flexile quidem , sed non extensibile , qua-

litates superficiei partim a forma pendent , in quam illa reducta ›
concipitur , partim absolutae sunt , atque inuariatae manent , in

quamcunque formam illa flectatur. Ad has posteriores , quarum investigatio campum geometriae nouum fertilemque aperit , referendae sunt mensura curuaturae atque curuatura integra eo sensu, quo

hae expressiones a nobis accipiuntur ; porro huc pertinet doctrina

" de lineis

breuissimis ,

pluraque

alia ,

de

quibus in

posterum

agere

nobis reseruamus. In hoc considerationis modo superficies plana at-

que superficies in planum explicabilis , e . g . cylindrica , conica etc. tamquam essentialiter identicae spectantur , modusque genuinus indolem superficiei ita consideratae generaliter exprimendi semper innititur formulae √ (Edp² + 2Fdp.dq + Gdq² ) , quae nexum
D

26

CAROLI FRIDERICI GAUSS

elementi cum duabus indeterminatis p , q sistit. Sed antequam hoc argumentum vlterius prosequamur , principia theoriae linearum brevissimarum in superficie curua data praemittere oportet.

14. Indoles lineae curuae in spatio generaliter ita datur , vt coordinatae x , y , z singulis illius punctis respondentes exhibeantur in forma functionum vnius variabilis , quam per w denotabimus. Longitudo talis lineae a puncto initiali arbitrario vsque ad punctum, cuius coordinatae sunt x , y , z , exprimitur per integrale

dx 2 dy
dw.v

dz 2

(

+

('dauw)

+ +

T dww

Si supponimus, situm lineae curuae variationem infinite paruam pati, ita vt coordinatae singulorum punctorum accipiant variationes dx, dy , dz , variatio totius longitudinis inuenitur

dx.ddx

dy.ddy + dz.ddz

= fdx.d√ (dx² + dy² + dz² )

quam expressionem in hanc formam transmutamus :

dx.dx dy.dy + dz.dz v (dxa ² + d dy² +a dz²))

d.x (dx.d √ (dx² + dy + d = ² )

dy

dz

+ dy.d

√ (dx² + dy² + dz²) + dz.α √ (dx² + dy² + dz²)

In casu eo , vbi linea est breuissima inter puncta sua extrema , con-

stat , ea , quae hic sub signo integrali sunt , euanescere debere.

Quatenus linea esse debet in superficie data , cuius indoles exprimitur per aequationem Pdx + Qdy + Rdz = 0) , etiam variati-

ones dx , dy, dz satisfacere debent aequationi Pdx + Qdy + Rdz

= 0 , vnde per principia nota facile colligitur , differentialia

dr d

dy

dz

√ (dx² +dy² +d z ² ) ' ¶ √ (dx² +dy² +dz²) ' ª√(dx² +dy² +d2²)

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

27

resp. quantitatibus P, Q, R proportionalia esse debere. Iam sit dr elementum lineae curuae , λ punctum in superficie sphaerica

repraesentans directionem huius elementi , L punctum in superficie

sphaerica repraesentans directionem normalis in superficiem curuam ;

denique sint , n,

coordinatae puncti λ , atque X, Y, Z

coordinatae puncti L respectu centri sphaerae. Ita erit

dx = Edr , dy = ŋdr , dz = } \ r

vnde colligimus , differentialia illa fieri de , dn , dz. Et quum

quantitates P, Q, R proportionales sint ipsis X, Y, Z, character

lineae breuissimae consistit in aequationibus

an

d3

=

=

Y

Ceterum facile perspicitur , (dĘ² + dn² + d32 ) aequari arculo

in superficie sphaerica , qui mensurat angulum inter directiones tan-

dr

gentium in initio et fine elementi dr , adeoque esse =

si de୧

notet radium curuaturae in hoc loco curuae breuissimae ; ita fiet

gd¿ = Xdr , gdy = Ydr , gd } = Zdr

15.

Supponamus , in superficie curua a puncto dato A proficisci innumeras curuas breuissimas , quas inter se distinguemus per angu-

lum , quem constituit singularum elementum primum cum elemento

primo vnius ex his lineis pro prima assumtae : sit ille angulus,

vel generalius functio illius anguli , nec non r longitudo talis lineae

breuissimae a puncto A vsque ad punctum , cuius coordinatae sunt

x , y , z. Quum itaque valoribus determinatis variabilium r ,

re

spondeant puncta determinata superficiei , coordinatae x , y, z con-

siderari possunt tamquam functiones ipsarum r , P. Notationes &, L,

E , 1 , 3, X , Y, Z in eadem significatione retinebimus , in qua in D2.

28

CAROLI FRIDERICI GAUSS

art. praec. acceptae fuerunt , modo indefinite ad punctum indefinitum cuiuslibet linearum breuissimarum referantur.

Lineae breuissimae omnes , quae sunt aequalis longitudinis r,

terminabuntur ad aliam lineam , cuius longitudinem ab initio arbitrario numeratam denotamus per v. Considerari poterit itaque v

tamquam functio indeterminatarum r , O , et si per λ designamus punctum in superficie sphaerica respondens directioni elementi dv,

nec non per έ, n' , ' coordinatas huius puncti respectu centri sphaerae , habebimus :

dx

do

=& ap

dy =
ap

dv dz

do

'do'' d = 3' do

Hinc et ex dx dr

dy

dz

= 2,

=3

dr

dr

sequitur

dx dx dy dy dz dz

dv

do

• +

+•

= cos λλ'.

dr do dr . do är · ãq = (E E² + n n' + 88 ' ) · ã¢

Membrum primum huius aequationis , quod etiam erit functio ipsa-

rum r ,, per S denotamus ; cuius differentiatio secundum r sup-

peditat :

ds ddx dx

ddy dy

ddz

d

=

•

dr² do

+• dr² · do

+ dr²

dz do

dx d
+.

dy 2

dz

+

do

d

dx

dy

dz dz

d( ÉÉ + 1 + & )

• +

+

·

+ /·

dr do

drdo dr do

dø

Sed && + n + 33 = 1 , adeoque ipsius differentiale = 0 ; et per art, praec. habemus , si etiam hic ୧ denotat radium curuaturae in linea r,

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

29

Χ
= dr

d

Y

= dr

Z =

Ita obtinemus

d's

1

do

1

do

= dr

= • cos LX.

(X &' + Ya' + Z3') .

do

dp

quoniam manifesto λ iacet in circulo maximo , cuius polus L. Hinc

itaque concludimus , S independentem esse ab r et proin functionem

solius

. At pro r = 0 manifesto fit

do

= 0 , et proin etiam

= 0,

do

nec non $ 0 independenter a 9. Necessario itaque generaliter

esse debebit S = 0 , adeoque cos XX0, i. e . λλ = 90 ° . Hinc

colligimus

THEOREMA. Ductis in superficie curua ab eodem puncto initiali innumeris lineis breuissimis aequalis longitudinis , linéa earum extremitates iungens ad illas singulas erit normalis.

Operae pretium esse duximus , hoc theorema e proprietate fundamentali linearum breuissimarum deducere : ceterum eius veri-

tas etiam absque calculo per sequens ratiocinium intelligi potest. Sint AB , AB' duae lineae breuissimae eiusdem longitudinis , an-

gulum infinite paruum ad

includentes , supponamusque , alteru-

trum angulorum elementi B B', cum lineis BA, B′ differre quantitate finita, ab angulo recto , vnde per legem continuitatis alter maior alter minor erit angulo recto . Supponamus , angulum ad B esse = 90° - w , capiamusque in linea BA punctum C ita vt sit

BC BB'. cosec w : hinc quum triangulum infinite paruum BB'C

tamquam planum tractare liceat , erit CB'

BC . cos w, et proin

AC + CB′ = AC + BC . cos

AB

BC .

-(1

cos w)

= AB' — BC (1 — cos w) , i. e. transitus a puncto A ad B' per punctum C breuior linea breuissima , Q. E. A.

30

CAROLI FRIDERICI GAUSS

16.
Theoremati art. praec. associamus aliud , quod ita enunciamus. Si in superficie curua concipitur linea qualiscunque , a cuius punctis singulis proficiscantur sub angulis rectis et versus eandem plagam innumerae lineae breuissimae aequalis longitudinis, curua, quae earum cxtremitates alteras iungit , illas singulas sub angulis rectis secabit. Ad demonstrationem nihil in analysi praecedente mutandum est , nisi quod designare debet longitudinem curuae datae inde a puncto arbitrario numeratam , aut si mauis functionem huius longitudinis ; ita omnia ratiocinia etiamnum valebunt , ea modificatione , quod veritas aequationis S0 pro r = 0 nunc iam in ipsa hypothesi implicatur. Ceterum hoc alterum theorema generalius est praecedente , quod adeo in illo comprehendi censeri potest, dum pro linea data adoptamus circulum infinite paruum circa centrum A descriptum. Denique monemus , hic quoque considerationes geometricas analyseos vice fungi posse , quibus tamen quum satis obuiae sint hic non immoramur.

17.
Reuertimur ad formulam (Edp² + 2 Fdp . dq + Gdq²), quae indefinite magnitudinem elementi linearis in superficie curua exprimit, atque ante omnia significationem geometricam coëfficientium E , F , G examinamus. Iam in art. 5 monuimus , in superficie curua concipi posse duo systemata linearum , alterum , in quibus singulis sola P sit variabilis ,, q constans ; alterum , in quibus sola q variabilis , p constans. Quodlibet punctum superficiei considerari potest tamquam intersectio lineae primi systematis cum linea secundi : tuncque elementum lineae primae huic puncto adiacens et variationi dp respondens erit √E.dp , nec non elementum lineae secundae respondens variationi dq erit = √ G. dq ; denique denotando per angulum inter haec elementa , facile perspicitur fieri cos w

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

31

F

=

Area autem elementi parallelogrammatici in superficie

√EG

curua inter duas lineas primi systematis , quibus respondent q, q + dq,

atque duas lineas systematis secundi quibus respondent p , p + dp,

erit (EGFF) dp.dq.

Linea quaecunque in superficie curua ad neutrum illorum systematum pertinens , oritur , dum p et q concipiuntur esse functiones vnius variabilis nouae , vel altera illarum functio alterius. Sit s lon-

gitudo talis curuae ab initio arbitrario numerata et versus directionem vtramuis pro positiua habita. Denotemus per angulum,

quem efficit elementum ds = √ ( Edp² +2 Fdp.dq + Gd q² ) cum linea primi systematis per initium elementi ducta , et quidem ne vlla ambiguitas remaneat , hunc angulum semper ab eo ramo illius lineae , in quo valores ipsius p crescunt , inchoari , et versus eam plagam positiue accipi supponemus , versus quam valores ipsius q crescunt. His ita intellectis facile perspicitur haberi

cos . ds = √E.dp +

Edp + Fdq

G.cosw.d 9 =

√E

√ (EG — FF) . dq sin .ds√ G. sin w.dq =
VE

18. Inuestigabimus nunc , quaenam sit conditio , vt haec linea sit breuissima. Quum ipsius longitudo s expressa sit per integrale
s = √ √ (Edp² + 2Fdp . dq + Gdq² ) conditio minimi requirit , vt variatio huius integralis a mutatione infinite parua tractus lineae oriunda fiat 0. Calculus ad propo situm nostrum in hoc casu commodius absoluitur , si p tamquam functionem ipsius q consideramus. Quo pacto , si variatio per characteristicam denotatur , habemus

32

CAROLI FRIDERICI GAUSS

ds =

dE

2dF

dG

.dp² +

• dp.dq + Jp dq²) dp +(2Edp + 2F

dp

dp

2 ds

dE

2dF

d

Edp + Fdq

dp² + dp

dp.dq + d

=

.dp +

ds Såp .(dp

2 ds

d Edp d+s Fdq)

constatque , quae hic sunt sub signo integrali , independenter

euanescere debere . Fit itaque

dE

2dF

dG

Edp + F

.dp² +

.dp.dq +

.dq² = 2ds.d.

dp

dp

dp

ds

= 2ds.d.vE . cos

ds.d E. cos =
√E

2ds.de.VE .

(Edp + Fdq) dE E

√ (EG — FF) . dq . do

+F = (Edp + E Fdq) . (d1Eddpp + 1.dq) —2V(EG — FF) .dg

Hinc itaque nanciscimur aequationem conditionalem pro linea

vissima sequentem :

F dE

F dE

dE

√ (EG —· FF) . d )0 = } | ..

· ·dp + ½ · E · dq

E dp

d

q

+

1/

• ·

d

q

dF

dG

-

· dp - 1.

aq

dp

dp

quam etiam ita scribere licet

F

dE

dF

dG

√ (EG — FF) . d ) = 1 · E 2 ·.αd E + ½ · dq

dp-dp .dp - 1.• • dp

Ceterum adiumento aequationis

E
cotg 0 = √ (EG - FF)

dp

F

+

dq

√ (EG - FF)

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

33

ex illa aequatione angulus eliminari , atque sic aequatio differentio - differentialis inter p et q euolui potest, quae tamen magis complicata , et ad applicationes minus vtilis euaderet , quam praecedens.

19.

Formulae generales , quas pro mensura curuaturae et pro va riatione directionis lineae breuissimae in artt. 11 , 18 eruimus, multo

simpliciores fiunt , si quantitates p , q ita sunt electae , vt lineae primi systematis lineas secundi systematis vbique orthogonalitér secent , i. e. vt generaliter habeatur = 90 ° , siue F = 0. Tunc

scilicet fit , pro mensura curuaturae ,

dEdG

4EEGGI = E.

•

+E

dq dq

2

dEdG

+ G.

+G

´dp'dp

dd E

dd G

- 2 EG

+

( dq2

dp2:),

et pro variatione anguli 0

√EG.do

dE

dG

. · dp - 1.

• dq

dq

dp

Inter varios casus , in quibus haec conditio orthogonalitatis valet , primarium locum tenet is , vbi lineae omnes alterutrius syste-

matis , e. g. primi , sunt lineae breuissimae . Hic itaque pro valore

constante ipsius q , angulus fit = 0 , vnde aequatio pro variatione

anguli

dE

modo tradita docet , fieri debere

= 0, siue coefficien-

dq

tem E a q independentem , i . e. E esse debet vel constans vel functio solius p. Simplicissimum erit , pro p adoptare longitudinem

ipsam cuiusque lineae primi systematis , et quidem , quoties omnes lineae primi systematis in vno puncto concurrunt , ab hoc puncto

numeratam , vel , si communis intersectio non adest , a qualibet linea

secundi systematis. Quibus ita intellectis patet , p et q iam eadem

denotare , quae in artt. 15 , 16 per r et

expresseramus , atque E

34

CAROLI FRIDERICI GAUSS

fieri E

1. Ita duae formulae praecedentes iam transeunt in has :

dG 2

dd G

4GGk =

-2 G

( 16)*.

dp2

dG

√G.de =

-

• 1/4

dq

dp

vel statuendo Gm,

1 ddm

dm

k

--

•

d0 =

dq

m dp2,

dp

Generaliter loquendo m erit functio ipsarum p, q atque mdq expressio elementi cuiusuis lineae secundi systematis. In casu spe-

ciali autem , vbi omnes lineae p ab eodem puncto proficiscuntur,

manifesto pro p = 0 esse debet m = 0 ; porro si in hoc casu pro q

adoptamus angulum ipsum , quem elementum primum cuiusuis lineae

primi systematis facit cum elemento alicuius ex ipsis ad arbitrium

electae , quum pro valore infinite paruo ipsius p , elementum lineae

secundi systematis (quae considerari potest tamquam circulus radio

p descriptus) , sit pdq, erit pro valore infinite paruo ipsius p ,

dm

m = p , adeoque , pro p = 0 simul m = 0 et

= 1.

dp

20. Immoremur adhuc iidem suppositioni , puta p designare indefinite longitudinem lineae breuissimae a puncto determinato A ad punctum quodlibet superficiei ductum , atque q angulum , quem primum elementum huius lineae efficit cum elemento primo alicuius lineae breuissimae ex A proficiscentis datae. Sit B punctum determinatum in hac linea pro qua q = 0 , atque C aliud punctum determinatum superficiei , pro quo valorem ipsius q simpliciter per A designabimus. Supponamus , puncta B , C per lineam breuissimam iuncta , cuius partes , inde a puncto B numeratas , indefinite vt in art. 18 per s denotabimus , nec non perinde vt illic , per Ө angu-

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

35

lum , quem quoduis elementum ds facit cum elemento dp : denique

sint ,

valores anguli in punctis B , C. Habemus itaque

in superficie curua triangulum lineis breuissimis inclusum , eiusque

anguli ad B et C , per has ipsas literas simpliciter designandi ae-

quales erunt ille complemento anguli ° ad 180 ° , hic ipsi angulo

'. Sed quum analysin nostram inspicienti facile pateat , omnes

angulos non per gradus sed per numeros expressos concipi , ita vt

angulus 57 ° 17′ 45″, cui respondet arcus radio aequalis, pro vnitate habeatur , statuere oportet , denotando per 27 peripheriam circuli

f° = π — - B , ' = C

Inquiramus nunc in curuaturam integram huius trianguli , quae fit = fkdo , denotante do elementum superficiale trianguli ; quare

quum hoc elementum exprimatur per mdp.dq, eruere oportet in-

tegrale ff kmdp . dq supra totam trianguli superficiem. Incipiamus

1 dd m

-

•

ab integratione secundum p , quae propter k =

m ddpp2² , sup-

dm
peditat dq. (Const.
dp ), pro curuatura integra areae iacen-

tis inter lineas primi systematis quibus respondent valores indeter-

minatae secundae q, q + dq : quum haec curuatura pro p = 0

euanescere debeat , quantitas constans per integrationem introducta

dm

aequalis esse debet valori ipsius

pro p = 0 , i. e. vnitati. Ha-

dp

dm

dm

bemus itaque dq (1 - -) , vbi pro

accipere oportet valorem

dp) ,

dp

respondentem fini illius areae in linea CB. In hac linea vero fit per art.

dm

praec .

dq = d9, vnde expressio nostra mutatur in dq + de.

dp

Accedente iam integratione altera a q = 0 vsque ad q = A X-

tendenda ,

obtinemus

curuaturam integram trianguli

—

A

+

0'

—

0°

= A + B + C — π.

E2

36

CAROLI FRIDERICI GAUSS

Curuatura integra aequalis est areae eius partis superficie ricae , quae respondet triangulo , signo positiuo vel negatiuo a prout superficies curua , in qua triangulum iacet , est concau

caua yel concauo - conuexa : pro vnitate areae accipiendum e dratum , cuius latus est vnitas (radius sphaerae) , quo pacto ficies tota sphaerae fit 47. Est itaque pars superficiei s

cae triangulo respondens ad sphaerae superficiem integ

± (A 1 + B + C

) ad 4π. Hoc theorema , quod ni fa

ad elegantissima in theoria superficierum curuarum referendur

videtur , etiam sequenti modo enunciari potest :

Excessus summae angulorum trianguli a lineis breui
in superficie curua concauo - concaua formati vltra 180 ° , v
fectus summae angulorum trianguli a lineis breuissimis in s -
ficie curua concauo conuexa formati a 180 ° mensuratur

aream partis superficiei sphaericae , quae illi triangulo per rectiones normalium respondet , si superficies integra 720 g bus aequiparatur.

Generalius in quouis polygono n laterum , quae singula mantur per lineas breuissimas , excessus summae angulorum s 2n - 4 rectos , vel defectus a 2n - 4 rectis (pro indole curuati

superficiei) , aequatur areae polygoni respondentis in superficie spi rica , dum tota superficies sphaerae 720 gradibus aequiparatur ,

per discerptionem polygoni in triangula e theorematę praecede sponte demanat,

21 . Restituamus characteribus p , q , E , F, G , w signification generales , quibus supra accepti fuerant , supponamusque , indole superficiei curuae praeterea alio simili modo per duas alias vari biles p', q' determinari , vbi elementum lineare indefinitum exp matur per
√ (Edp'² + 2F'dp' . dq' + G'd q'²)

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC. 37

Ita cuiuis puncto superficiei per valores determinatos variabilium P , ¶ definito respondebunt valores determinati variabilium p', q', quocirca hae erunt functiones ipsarum p , q , e quarum differentiatione prodire supponemus

dp'

adp + Bdq

dqydp + dd q

Iam proponimus nobis inuestigare significationem geometricam horum coefficientium a , B , y , d.

Quatuor itaque nunc systemata linearum in superficie curua concipi possunt , pro quibus resp. 4 , p , q, p' sint constantes. Si per punctum determinatum , cui respondent variabilium valores p, q, p', ', quatuor lineas ad singula illa systemata pertinentes ductas supponimus, harum elementa, variationibus positiuis dp, dq , dp', dq , respondentes erunt

√ E.dp , G. dq, VE'.dq, vᏉ Gʻ.dq..

Angulos , quos horum elementorum directiones faciunt cum dire-

ctione fixa arbitraria , denotabimus per M, N, M', N', numerando

eo sensu , quo iacet secunda respectu primae , ita vt sin (NM) fiat quantitas positiua : eodem sensu iacere supponemus ( quod licet) quartam respectu tertiae , ita vt etiam sin (N' 1 M') sit quantitas

positiua . His ita intellectis , si consideramus punctum aliud , a priori infinite parum distans , cui respondeant valores variabilium p + dp,

q + dq , p' + dp', q' + dq' , leui attentione adhibita cognoscemus, fieri generaliter , i . e. independenter a valoribus variationum dp , dq,

dp', dq,

E.dp.sin M + vG.dq.sin N√ E'.dp.sin M' + VG'.dq.sin N'

quum vtraque expressio nihil aliud sit , nisi distantia puncti noui a linea , a qua anguli directionum incipiunt. Sed habemus , per no-

tationem iam supra introductam N - Mw, et per analogiam

statuemus N ' - M'w', nec non insuper N- M'

. Ita ae-

quatio modo inuenta exhiberi potest in forma sequente

38

CAROLI FRIDERICI GAUSS

√ E.dp. sin (M' — w + √↓ ) + G.dq.sin (M' + ↓)

vel ' ita

= √E.dp . sin M' + √ G. dq' sin (M ' + w')

√ E.dp.sin (N'- w - w') + 1 ) + G.dq.sin (N' — w' + ↓)

= VE.dp' sin ( N'w') + √ G'.dq' sin N'

Et quum aequatio manifesto independens esse debeat a directione

initiali , hanc ad lubitum accipere licet. Statuendo itaque in forma

secunda N' = 0 , vel in prima M'

0 , obtinemus aequationes

sequentes :

VE' .sin w.dp = √ E.sin (w + w' — ↓) .dp + √ G.sin (w

) .dq

√ G' . sin w . dq = √ E. sin (

w) .dp + G. sin . dq

quae aequationes quum identicae esse debeant cum his

dp

adp + Bdq

dqydp + dd q

suppeditabunt determinationem coefficientium a, 6, y, d. Erit scilicet

E sin (w + w- ↓)

G sin (w

)

απν

B=√

E'

sin w

E

sin w

E sin (

w)

Y= √ G

sin w

G sin G' sin w

F

Adiungi debent aequationes cos w =

cos w = √EG'

VEG'

VEG

EG - FF

sin w = √

sin

EG

EG -FF
V EG

vnde quatuor

aequationes ita quoque exhiberi possunt -
a√ (E'G' — F' F') = √ EG' . sin ( w + w' — '↓ ) B√ (EG — FF') = √ GG' . sin (w' — ↓) ¥ √ (E'G' — F' F') = √ EE . sin ((↓ — w) ¿ √ (EG′ — F' F " ) = √GE . sin ↓
Quum per substitutiones dp' adp + Bdq , dq = ydp + dd q

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC. 39

trinomium E'dp'2 + 2 F'dp' . dq + G'dq2 transire debeat in

Edp2 + 2 Fdp . dq + Gdq2 , facile obtinemus

EG —

FF =

(E′ G′

—

F' F') (ad —

By)²

et quum vice versa trinomium posterius rursus transire debeat in prius per substitutionum

(ad- By) dp = ddp' — ßdq' , (ad — By ) dq = —ydp' + adg ,

inuenimus
EG - FF Edd - – 2 Fyd + Gyy = EG - FFE Ε

EG FF
EBd- F(ad + By ) + Gay = EG - FFF'

EG - FF

•

Ε Eβ Bβ B - 2Faß + Gaα =

G'

EGFF

22. A disquisitione generali art. praec. descendimus ad applicationem latissime patentem, vbi, dum p et q etiamnum significatione generalissima accipiuntur, pro p, q, adoptamus quantitates in art. 15 per r, Q denotatas , quibus characteribus etiam hic vtemur , scilicet vt pro

quouis puncto superficieir sit distantia minima a puncto determinato , atque angulus in hoc puncto inter elementum primum ipsius r atque directionem fixam. Ita habemus E1 , F" = 0, w' 90 °: statuemus insuper √ G'm , ita vt elementum lineare quodcunque fiat = √ (dr² + mmd02 ). Hinc quatuor aequationes in art. praec

pro a, B , y, d, erutae , suppeditant :

dr √ E. cos (w — 4) =
dp
dr v √ G. ccooss ↓ ↓ =
dq

(1) (2)

√E.sin (

w) = m .

dp

(3)

40

CAROLI FRIDERICI GAUSS

√G . sin = m . dq

· (4)

Vltima et penultima vero has

EG - FF

2

dr dr

E

+G

(d ) - 2 F ·Jp dq =(1/5)²

dr

dr

G

(E. dq -F. d.) . 1d9q = (F. & dq - c.17) .1 d0 p .

Ex his aequationibus petenda est determinatio quant

r, 9,

et (si opus videatur) m , per p et q : scilicet inte

aequationis ( 5 ) dabit r , qua inuenta integratio aequationis (6) , atque alterutra aequationum ( 1 ) , ( 2) ipsam : denique
bebitur per alterutram aequationum (3) , (4).

İntegratio generalis aequationum (5) , (6) necessario duas ctiones arbitrarias introducere debet , quae quid sibi velinti intelligemus , si perpendimus , illas aequationes ad casum eum hic consideramus non limitari , sed perinde valere , si ret piantur in significatione generaliori art. 16 , ita vt sit r longi lineae breuissimae ad lineam arbitrariam determinatam norma
ductae , atque functio arbitraria longitudinis eius partis lin quae inter lineam breuissimam indefinitam et punctum arbitrar determinatum intercipitur. Solutio itaque generalis haec omnia definite amplecti debet , functionesque arbitrariae tunc demun definitas abibunt , quando linea illa arbitraria atque functio part quam exhibere debet , praescriptae sunt. In casu nostro ci lus infinite paruus adoptari potest , centrum in eo puncto habe a quo distantiae r numerantur , et denotabit partes huius cir ipsas per radium diuisas , vnde facile colligitur , aequationes (5) , pro casu nostro complete sufficere , dummodo ea , quae indefin relinquunt , ei conditioni accommodentur , vt r et pro puncto i initiali atque punctis ab eo infinite parum distantibus quadrent.

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

41

Ceterum quod attinet ad integrationem ipsam aequationum (5), (6) , constat , eam reduci posse ad integrationem aequationum differentialium vulgarium , quae tamen plerumque tam intricatae euadunt , vt parum lucri inde redundet. Contra euolutio in series,
quae ad vsus practicos , quoties de partibus superficiei modicis agitur , abunde sufficiunt , nullis difficultatibus obnoxia est , atque sic formulae allatae fontem vberem aperiunt , ad multa problemata gravissima soluenda. Hoc vero loco exemplum vnicum ad methodi indolem monstrandam euoluemus.

23 .

Considerabimus casum eum , vbi omnes lineae , pro quibus p constans est , sunt lineae breuissimae orthogonaliter secantes lineam pro qua = 0 , et quam tamquam lineam abscissarum contemplari possumus. Sit punctum pro quo r = 0 , D punctum indefinitum in linea abscissarum , AD = p , B punctum indefinitum in linea breuissima ipsi AD in D normali , atque BD = q , ita vt p considerari possit tamquam abscissa , q tamquam ordinata puncti B ; abscissas positiuas assumimus in eo ramo lineae abscissarum , cui

respondet = 0 , dum r semper tamquam quantitatem positiuam

spectamus ; ordinatas positiuas statuimus in plaga ea , vbi ratur inter 0 et 180°.

nume-

Per theorema art. 16 habebimus w 90 ° , F = 0 , nec non

G = 1 ; statuemus insuper ✔E = n. Erit itaque n functio ipsarum

p , q , et quidem talis , quae pro q = 0 fieri debet 1. Applica-

tio formulae in art. 18 allatae ad casum nostrum docet , in quauis

dn

linea breuissima esse debere df =

• dp, denotante dq

angu-

lum inter elementum huius lineae atque elementum lineae pro qua

q constans : iam quum linea abscissarum ipsa sit breuissima , atque dn
pro ea vbique = 0 , patet , pro 40 vbique fieri debere ddgq= 0.
F

42

CAROLI FRIDERICI GAUSS

Hinc igitur colligimus , si n in seriem secundum potestates ipsius q progredientem euoluatur , hanc habere debere formam sequentem
n = 1 + fqq + gq³ + hq + etc.

vbi f, g, h etc. erunt functiones ipsius p , et quidem statuemus

ƒ = ƒ° + ƒ˜p + ƒ"pp + etc. "
g = g ° + g´p + g″pp + etc.
h = h ° + hp + h'pp + etc.
etc. siue

⋅ n = 1 + ƒ ° qq + ƒ′pqq + f'ppqq + etc.

+ g° q

+ ớpq3 + etc. + hoq4 + etc. etc.

24.

Aequationes art. 22 in casu nostro suppeditant

n sin

dr

dr

=

cos ↓=

dp '

dq'

neos

=m

·

do

. "

sin

aq

ap m.
d9

nn nn

2 +

dr do

dr do

nn . - •

+

·

(1 )

( 1 );

dq dq

dp dp

Adiumento harum aequationum , quarum quinta et sexta iam in

reliquis continentur , series euolui poterunt pro r , 9 , ↓ , m , vel pro quibuslibet functionibus harum quantitatum , e quibus eas , quae

imprimis attentione sunt dignae , hic sistemus.

Quum pro valoribus infinite paruis ipsarum p , q fieri debeat

rr pp

94 , series pro rr incipiet a terminis pp + qq :

terminos altiorum ordinum obtinemus per methodum coefficientium

indeterminatorum *) adiumento aequationis

drry2

+

= 4Arrrr .

n

dp

( dFqF )

* Calculum , qui per nonuulla artificia paullulum contrahi potest , hic adscribere superfluum duximus.

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

43

scilicet

[1 ] rr = pp + f * PPq q + ¥ƒ˜p³ qq + (} ƒ” — z3ƒ ° ƒ ° )p^qq etc.

+99

+ { g° ppq³ + g′p³ q³

+ (3 h ° — 75ƒ° ƒ°) pp q¹

Dein habemus , ducente formula rsin

1 drr 2n dp

-[2] rsin = pƒ ° p q ¶ — ž ƒ ' p p q q − (} ƒ” + zzƒ ° ƒ ° ) p³ qq etc¸

— §8 ° рч³ — f g PppP q³
(3 h ° ~ 3ƒ°ƒ°) p qª
drr

nec non per formulam rcos

}. dq

[3] rcooss ↓ ↓ = = q + }ƒ ° PPqq + } ƒ ƒ˜° pp.³³.qq + + ((}}ƒ ƒ˜“” — z«ƒ ° ƒ ° ) pq etc.

+ 48°ppqq + } g p³ q q

Hinc simul innotescit angulus

+ ({ h ° — ž§ ƒ ° ƒ ° ) p p q³ . Perinde ad computum anguli

concinnius euoluuntur series pro rcos atque r sin , quibus in-

seruiunt aequationes differentiales partiales

d.rcos dp

= n cos P.. sin ↓

ap
r sin § . dp

d.rcos dq

= cos . cos ↓ -rsin . dq

d.rsin dp

= nsin.sin + rcos . dp

d.rsin dq

sin.cos

do r cos .
dq

n cos ↓.

+ sin f .

=0

dq

dp

quarum combinatio suppeditat

r sin n

d.r cos •
dp

d.rcos + rcos ↓
dq
F2

= rcos

44

CAROLI FRIDERICI GAUSS

rsin n

d.rsin dp

d.rsino

+ rcos .·

= rsing

dq

Hinc facile euoluuntur series pro rcos , rsin Q , quarum t

primi manifesto esse debent p et q , puta

[4] rcos [5 ] rsin

= p + 3ƒ ° p q ¶ + žzƒP p q q + (3%3 ƒ" —3ƒ ^ƒ °)p³

+ 38° pq³ + g PP q³
+ (z h ° → Zzƒ°ƒ °) p

= q- }ƒ ° p p q — }ƒ'p3³ q— ‹ z%ƒ" — }%ƒ °ƒ°)pª

- 48° ppq¶¶

2g p³ q q

(}{ 4 ° + } }ƒ ° ƒ°) I

E combinatione aequationum [2 ] , [ 3 ] , [ 4] , [ 5 ] deriuari posse

ries pro rrcos ( + ) , atque hinc , diuidendo per seriem

series pro cos ( +9) , a qua ad S seriem pro ipso angulo descendere liceret. Elegantius tamen eadem obtinetur sequ

modo. Differentiando aequationem primam et secundam ex

quae initio huius art. allatae sunt , obtinemus

dn

sin .

+

ncos ↓:· 14

d + sin 4.14:

dq

dq

dq

qua combinata cum hac

do

n cos .

+ sin .

=0

dq

dp

prodit

rsin n

dn

rsind ( +9)

· +

+ rcos

dq

n

dp

d ( +0)

:

=

dq

Ex hac aequatione adiumento methodi coefficientium indetermin

torum facile eliciemus seriem pro

+ , si perpendimus ipsiu

terminum primum esse debere

, radio pro vnitate accepto, atqu

denotante 2 peripheriam circuli ,

--

-

-

[6] ↓ + 9 = { π − ƒ ° p q — ¾ ƒ pp q− ( { ƒ” — } ƒ °ƒ °)p³ q etc.

-8°pqq - 48g PPp qq

— (h ° — } ƒ° ƒ°) p q³

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

45

Operae pretium videtur , etiam aream trianguli ABD in seriem euoluere . Huic euolutioni inseruit aequatio conditionalis sequens , quae e considerationibus geometricis satis obuiis facile deriuatur , et in qua S aream quaesitam denotat :

r sin n

ds

ds

•

+ rcos .

dp

dq

rsin n

ndq ·S .

integratione a q = 0 incepta. Hinc scilicet obtinemus per methodum coefficientium indeterminatorum

-

-

[7 ] S = { p q — iz ƒ° p³ q — z‰ ƒ˜pªq— (3%ƒ” —¿%ƒ°ƒ°) p³q etc.

-

-3

— ³½ ƒ ° p q³ — ‡‰ g° p³ ¶¶ — 2% g′p * q q

--

-

— x = ƒ p p q³ — (z'z h ° + z3ƒ"' + ¿õƒ °ƒ°) p³q³

-18pq4-48′ppq4

—

-

− ( 1% h ° — 3% ƒ ° ƒ ° )pq³

25.

A formulis art. praec. , quae referuntur ad triangulum a lineis breuissimis formatum rectangulum , progredimur ad generalia. Sit C aliud punctum in eadem linea breuissima DB, pro quo , ma-

nente p , characteres q' , r', P' , ' , 'S' eadem designent , quae q, r, ,, S pro puncto B. Ita oritur triangulum inter puncta A, B,
C, cuius angulos per A, B , C , latera opposita per a , b , c, aream per a denotamus ; mensuram curuaturae in punctis A, B , C

resp. per a , B , y exprimemus. Supponendo itaque (quod licet), --
quantitates , p , q , q- q esse positiuas , habemus

1= 9—9', B = ↓ ,

C = π − √ , a = q - q' , b = r', c = r, σ = S — S' .

Ante omnia aream per seriem exprimemus. Mutando in [7] singulas quantitates ad B relatas in eas quae ad C referuntur, prodit formula pro S' , vnde , vsque ad quantitates sexti ordinis obtinemus

46

CAROLI FRIDERICI GAUSS

σ = {p (q — q′) ( 1 − } ƒ ° (pp + qq + qq + q g') -fp (6PP + 799 + 799 + 79′ )
—3% 8° (q + q) (3pp + 49 % + 4¶ q' + 4 g g') )
Haec formula , adiumento seriei [2] puta

-

-

csin B = p (1 ~ } ƒ ° q q — } ƒ p q q — § g° q³ .

et

transit in sequentem

σ = § acsin B (1 — zƒ° (pp — qq + q q' + q' q) -ƒ'p (бpp - 899 + 7qd + 7 dd)
8° (3ppq + 3ppq6q³ + 49¶¶ +4 g 9 g + 49

Mensura curuaturae pro quouis superficiei puncto fit (per

19 , vbi m , p , q erant quae hic sunt n , q , p)

1 ddn

n dq2

= -2ƒ -

6gq

2f + 689 + 12h qq + etc. 1 + fqq + etc.
(12h2ff)qq - etc.

Hinc fit , quatenus p , q ad punctum B referuntur,

-

―

-

B = -2ƒ°

2f'p 6gq2f"PP - 6g'p q

- - (12 ho ― 2 °f )

etc.

nec non

yy = = -2f °

2ƒp — 68g°oq 4′ — 2ƒ"pp — 6 68g′ʻppq¶

(12 h°

2ƒ°ƒ°) í í -etc.

2ƒ°

Introducendo has mensuras curuaturae in serie pro σ , obtinem

expressionem sequentem , vsque ad quantitates sexti ordinis (exc exactam :

σ=

ac sin B ( 1 +

α (4pp 299 + 394 + 399

+ To ẞ (3pp — 69q9q + 69qg9 + 344)

+ rio y (3pp — 299 + ¶¶′ + 499') )

Praecisio eadem manebit , si pro p, q, q' substituimus c sin L

c cos B, c cos B - a , quo pacto prodit

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

47

[8] σ =

-

ac sin B(1 + roα ( 3αα + 4 cc

9 ac cos B)

-

+10 B (зaаa + 3cc

12 ac cos B)

+ Toy (4αa + 3cc - 9 ac cos B) )

Quum ex hac aequatione omnia quae ad lineam AD normaliter

ad BC ductam referuntur euanuerint , etiam puncta A , B , C cum

correlatis inter se permutare licebit , quapropter erit eadem praecisione

[9] σ = bc sin (1 + ro α ( 3bb + 3 cc

12 b c cos A)

+ 10 ß (3bb + 4 cc — 9b c cos 1)

-

+ 1½ōy (4bb + 3 cc

9 b c cos A) )

[10] σab sin C ( 1 +

α ( 3aa4bb

9 ab

cos

C)

-

+ 10 B (4aа + 3bb

9 ab cos C)

+1

(зaa + 3bb- 12 abcos C) )

26.

Magnam vtilitatem affert consideratio trianguli plani rectilinei, cuius latera aequalia sunt ipsis a , b , c ; anguli illius trianguli, quos

per A , B , C designabimus , different ab angulis trianguli in

superficie curua , puta ab A, B , C, quantitatibus secundi ordinis, operaeque pretium erit, has differentias accurate euoluere. Calculorum autem prolixiorum quam difficiliorum , primaria momenta apposuisse sufficiet.

Mutando in formulis [ 1 ] , [ 4] , [5] , quantitates quae referun

tur ad B in eas quae referuntur ad C , nanciscemur formulas pro

r'r', r' cos ' , ' sin ' . Tunc euolutio expressionis rrrr'

((9qq) ²

2r cos

. r'cos '

2 r sin . r' sin ', quae fit

= b b + c c — aa- 2 b c cos A 2 b c (cos Acos A) , com-

binata cum euolutione expressionis sin P.r'cos ' — r cos § . r' sin P' , quae fit be sin A, suppeditat formulam sequentem

cos A

008A- (q — q')p sin Ʌ (} ƒ ° + §ƒ'p + $ 8 ° (q + q)

+ (7%ƒ" — 45ƒ° ƒ° )pp + 3% g′p (4 + 4) -
+ (3}/h20° — √ƒ ° ƒ °) ( qq + q í + qq ) + etc.)

48

CAROLI FRIDERICI GAUSS

Hinc fit porro , vsque ad quantitates quinti ordinis

A* — A = — (9 − q)p ({ ƒ° + } ƒ˜p + 48 ° ( q + q) + ioƒ"pp + 28′P (I + 1) + 1}5 h ° ( q q + q 'q + Í Í)

%ƒ° ƒ° (7pp +7 9 9 + 12 44′ +79 ) )

Combinando hanc formulam cum hac

2σ = ap ( 1— ƒ ° (pp + qq + qi + á á

etc.)

atque cum valoribus quantitatum a , B , y in art. praes. allatis, ob-

tinemus vsque ad quantitates quinti ordinis

[ 11 ]

AA 4® = A — o (fα

+

1½ž 6

+ 1}{2

+ }}} ƒ“ PP + } g′p (9 + 4' )

+ } h ° ( 3 qq — 294′ + 34′ 4′)

-

-

+ ³ãƒ ° ƒ ° (4pp — 11 9 9 + 14 99' — 119′ g') )

Per operationes prorsus similes euoluimus

[ 12 ]

B * = B — o ( ½½ a + } ß + ; y + ioƒ" pp + tog′p (24 + q′)

+ } h ° (4 qq — 49 % +34 ¶)

I

-

ƒ°ƒ° (2pp + 8 9 9 − 8 9 4 + 1 1 4 4') )

[ 13] CC - 0 ( iza + ½ ß + } y + ioƒ“ PP + io g′P (1 + 2 4 ) + } h ° (3qq - 4qq + 49′g) ff (2pp + 1199—899′ + 89′ 9') )
Hinc simul deducimus , quum summa 4* + B * + C * duobus rectis aequalis sit , excessum summae A + B + C supra duos angulos rectos , puta
[ 14] A + B + C = π to ( { α + } ß + } y + { ƒ″ pp + žg′p (q + q) + (2h ° — } ƒ° ƒ°) (q q — qq + á á ) )
Haec vltima aequatio etiam formulae [6] superstrui potuisset .

27.

Si superficies curua est sphaera , cuius radius R , erit a =

1
B = y = — 2ƒ° = RRi ƒ" = 0 , g′' = 0 , 6hº — ƒ ° ƒ° = 0 siue ᎡᎡ

1 h° =
24 RA

Hinc formula [ 14] fit

DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES ETC.

49

σ
A+ B + C= π + ᎡᎡ

quae praecisione absoluta gaudet ; formulae 11-13 autem sup-

peditant

σ A* = A ---
3 RR

(2pp - qq + 4qq' — qq) 180 R4

BB

σ

σ

+ 180 R4 PP − 29q + 299 + ¶¶) 3 ᎡᎡ .

C = C-

σ

σ

+ 3 RR 180 R$ PP + 99 + 299 −299)

siue aeque exacte

A =A B =B
C =C

σ 3 RR
σ 3 RR
σ 3RR

σ 180 R4 (bb + cc - 2aa)
σ (aa + cc2bb)
180 R4
σ (a a + bb - 2 c c)
180 R4

Neglectis quantitatibus quarti ordinis , prodit hinc theorema notum a clar. Legendre primo propositum.

28.

Formulae nostrae generales , reiectis terminis quarti ordinis, persimplices euadunt , scilicet

4 = 4 ― • 120 ( 2α + B + y)

B*

B ― - 11/20 (α + 2B + y)

C = C - 1I1/20 (α + B + 27)

Angulis itaque A, B, C in superficie non sphaerica reductiones

inaequales applicandae sunt , vt mutatorum sinus lateribus oppositis

fiant proportionales. Inaequalitas generaliter loquendo erit tertii

ordinis , at si superficies parum a sphaera discrepat , illa ad ordinem altiorem referenda erit : in triangulis vel maximis in superficie tel-
G

50

CAROLI FRIDERICI GAUSS ETC.

Juris , quorum quidem angulos dimetiri licet , differentia semper pro

insensibili haberi potest. Ita e . g. in triangulo maximo inter ea,

quae annis praecedentibus dimensi sumus , puta inter puncta Hohe-

hagen , Brocken , Inselsberg , vbi excessus summae angulorum fuit

= 1485348 , calculus sequentes reductiones angulis applicandas

prodidit :

Hobehagen . Brocken .
Inselsberg •

4"95113
4,95104 --
4,95131

29 . Coronidis caussa adhuc comparationem areae trianguli in superficie curua cum area trianguli rectilinei , cuius latera sunt a, b , c, adiiciemus. Aream posteriorem denotabimus per o , quae fit = be sin = ac sin B = absin C'e

Habemus , vsque ad quantitates ordinis quarti

sin 4* sin:1

cos A. (2α + B + y)

siue aeque exacte

sin Asin A. (1 + bc cos A. (2 a + B + x) )
Substituto hoc valore in formula [9 ] , erit vsque ad quantitates sexti ordinis

σ = bc sin 4. ( 1 + 。α ( 3bb + 3 cc - 2bccos A) +

ß (3 bb

+ 4cc4bc cos A) + roy ( 4bb + 3cc —4bccos A) ) ,

siue aeque exacte

σ = σ * (1 + xoa (aa + 2bb + 2cc) + 1žo ß ( 2aa + bb + 2 cc)

+7

(2ªª + 2bb + cc) )

Pro superficie sphaerica haec formula sequentem induit formam

σ = 0" ( 1 + 24 a ( aa + bb + cc) )
cuius loco etiam sequentem salua eadem praecisione adoptari posse facile confirmatur
sin A. sin B. sin C σ=0 √
sin.1.sin B * .sin C *

Si eadem formula triangulis in superficie curua non sphaerica applicatur , error generaliter loquendo erit quinti ordinis , sed insensibilis in omnibus triangulis , qualia in superficie telluris dimetiri licet.

AIC)
DETERMINATIO ATTRACTIONIS , QUAM IN PUNCTUM QUODVIS POSITIONIS DATAE EXERCERET PLANETA , SI EIUS MASSA PER TOTAM ORBITAM . RATIONE TEMPORIS , QUO SINGULAE
PARTES DESCRIBUNTUR , UNIFORMITER ESSET DISPERTITA.
AUCTORE
CAROLO FRIDERICO GAUSS , ORDINIS GUELPHORUM ATQUE ORDINIS DANNEBROG EQUITE , BRITÁNNIARUM HANNOVERAEQUE REGI A CONSILIIS AULAE , OBSERVATORII REGII GOTTINGENSIS DIRECTORE , ASTRONOMIAE IN UNIVERSITATE GOTTINGENSI PROFESSORE , SOCIETATUM REGIARUM GOTTINGENSIS ET
LONDINENSIS , ACADEMIAE BEROLINENSIS , SOCIETATIS ITALICAE ALIARUMQUE SODALI.

2

GOTTINGAE APUD HENRICUM DIETERICH.
MDCCCXVIII.

3

DETERMINATIO ATTRACTIONIS , QUAM IN PUNCTUM QUODVIS POSITIONIS DATAE EXERCERET PLANETA , SI EIUS MASSA PER TOTAM ORBITAM , RATIONE TEMPORIS , QUO SINGULAE
PARTES DESCRIBUNTUR , UNIFORMITER ESSET DISPERTITA.
AUCTORE CAROLO FRIDERICO GAUSS SOCIET. REG. SCIENT. EXHIBITA 1818. JAN. 17.
I. Variationes faeculares , quas elementa orbitae planetariae a perturbatione alius planetae patiuntur , ab hujus pofitione in orbita funt independentes , atque eaedem forent , five planeta perturbans in orbita elliptica fecundum Kepleri leges incedat , five ipfius maffa per orbitam eatenus aequabiliter dispertita concipiatur , ut orbitae partibus , alias aequali temporis intervallo defcriptis , jam aequales maffae partes tribuantur , fiquidem tempora revolutionum planetae perturbati et perturbantis non fint commenfurabilia. Theorema hoc elegans , fi a nemine hucusque difertis verbis propofitum eft , faltem perfacile ex aftronomiae phyficae principiis demonftratur. Problema itaque fe offert tum per fe , tum propter plura artificia , quae ejus folutio requirit, attentione perdignum : attractionem orbitae planetariae , aut fi mavis , annuli elliptici , cujus craffities infinite parva , atque fecundum legem modo explicatam variabilis , in punctum quodlibet pofitione datum exacte determinare.
A2 2.

CAROL . FRID . GAUSS 4.
2. Denotando excentricitatem orbitae per e , atque puncti cu
vis in ipfa anomaliam excentricam per E , hujus elemento reſpondebit elementum anomaliae mediae ( ie cos E) a quamobrem elementum maffae ei orbitae portiunculae , cui ſpondent illa elementa , tribuendum , erit ad malam integra quam pro unitate accipiemus , ut ( 1 — e cos E) ' d E ad 2π, primente π femicircumferentiam circuli pro radio 1 . Statuen itaque diftantiam puncti attracti a puncto orbitaeg , attract ab orbitae elemento producta erit
- e cos E) dE

Defignabimus femiaxem majorem per a , femiaxem minore per b , atque illum tamquam lineam abfciffarum , centrumqu ellipfis tamquam initium adoptabimus. Hinc erit aa - bb - aae abfciffa puncti orbitae a cos E, ordinatab in E. Deniqu diftantiam puncti attracti a plano orbitae denotabimus per

atque coordinatas reliquas axi majori et minori parallelas pe A et B. His ita praeparatis , attractio elementi orbitae decompo netur in duas axi majori et minori parallelas atque tertiam pland orbitae normalem , puta
(A a cos E) (i e cos E) dE dé

(B - b fin E) ( 1 e cos E) dE

dn

88110 88113

C (1 - e cos E) dE 3.
επρ
ubi g = √ ( (A — a cos E) ² + ( B — b fin E) ² + CC). Integratis hisce differentialibus ab E o usque ad E360 °,
prodibunt attractiones partiales E, n, fecundum directiones, directionibus coordinatarum oppofitas , e quibus attractio integra
compo.

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC.

5

compofita erit , et quas per methodum notam ad quaslibet alias directiones referre licebit.

3. Rei fumma jam in eo verfatur , ut introducta loco ipfius E alia variabili , quantitas radicalis in formam fimpliciorem redigatur. Ad hunc finem ftatuemus
aa' cos Ta" fin T COS E =
y + y' cos T + y" fin T 6 + 6' cos T + 6 fin T · fin E = y + y' cos T + y “ fin T ubi autem novem coefficientes a, a ', a" etc. manifefto non funt
penitus arbitrarii , fed certis conditionibus fatisfacere debent, quas ante omnia perfcrutari oportet. Primo obfervamus , fubftitutionem eandem manere , fi omnes coefficientes per eundem factorem multiplicentur, ita ut absque generalitatis detrimento uni ex ipfis valorem determinatum tribuere , e. g. ftatuere liceret y = 1 : attamen concinnitatis caufla omnes novem aliquantisper indefiniti maneant. Porro monemus , excludi debere valores tales , ubi
a, a , a“ vel 6, 6' , 6' ipfis y, yʻ, y" refp . proportionales effent : alioquin enim E haud amplius indeterminata maneret. Nequeunt igitur yʻaya ', `y '' a — ya " , ya ' - y'a fimul evanescere.
Manifefto coefficientes a , a', a" etc. ita comparati effe debent , ut fiat indefinite
(a + a' cos T + a " fin T) ² + (6+ ' cos T + 6" fin T) ² ―
(y + y' cos T + y " fin T) ² unde. neceffario haec functio habere debet formam
k (cos T² + fin T² - 1 )
Hinc

6

CAROL. FRID. GAUSS

Hinc colligimus fex aequationes conditionales

α - 66 + 27 =

k

a' c ' - E' E' + 'y' y' = -— k - a" a".- EllEll + yll all = = k
a' a" - E' E" + gly" =

(1)

a" a

6" 5 + g " y =

α α - 6 6' + y y' =

Ab his aequationibus pendent plures aliae , quas evolve operae pretium erit. Statuendo brevitatis caufſſa

--

-

´ab'y" + a′5″ y + a'' byʻ — a B¹ y ' — a'.b.y " — a “ E' y = ε . .... (

e combinatione aequationum (I ) facile derivantur novem fequente

280

εα

k (5' yll - y' 5" ) }

- k (yʻa"! - a' y'')

εY

+ k (a' 5"

E' a" )

εαν

-

+ k (5" y

715)

ε b' =

+

k (g " a

a"

)

( III)

ε7 = - k (α " E ― 6" α)

-

εa " = + k (6 Ÿ'

75')

ε6" = + k (y a' - α y')

εy" =

-

k (a b'

Eα' ) ]

E tribus primis harum aequationum rurfus deducimus hanc :

εε αa (C¹y“ — y'C' ' ) + εE ( y ' a " — α'y '') + εy (α'B'.- C'a ') = — k (b' y '' — y ′ 5″ ) ² - — k (y ' a " -— a'z '') ² + k ( a'5" — -C'a' )²

cui aequivalens eft haec : εɛ εɛ = k (— a' α+ - C'E' + yʻJ ') ( — α" a" —k (— a'a'' - 5'5"' + y'yrajz

(" B1+ g" y")

quae adjumento aequationum 2 , 3 , 4 in ( I ) mutatur in hanc :

εε = k³

(IV)

Aeque

DETERMINATIO ATTRACTIONÍS ETC. 7
1
Aeque facile ex aequationibus ( I ) derivantur hae :

(E' y'' — o' (11)2 = —— k (k — · a'a ' — ·aa"" αa""^"));. ]

(g°œ"

ay" )² == k (k' — C' 6'

6" 6")

(α ' 5'' - 5′ α " ) ² = + k (k + yʻy ? + y''y" )

-

(5" y

y' 6) ² = + k (k + a a

a"a")

(g" a (a" E (Ey' d

ά"' y)² = + k (k + 6 6 B 6'6")
5" α)² = - k(k - ggi + gllll)

y b') ² = + k (k + αa

a'a' )

(V)

(ya'

α y')² = + k (k + 66 - 6'5' )

(a b! · α )²

= - k (k -

gy

+

go go) }

Exempli caufla evolutionem primae adfcribimus , ad cujus

inſtar reliquae facile formabuntur. Aequationes 4, 2 , 3 in ( 1 )

fcilicet fuppeditant

(Ÿ ' • '' — 6' 6' ')² — (y''y ' — B'C') (y' "' y " - — 6" 5" ) = a ' a'a'i à"" -
(a' a' - k) (a" a" — k) quae aequatio evoluta protinus ipfam primam in ( V) ſiſtit.
Ex his aequationibus (V) concludimus , valorem ko in disquifitione noftra haud admiffibilem effe ; hinc enim omnes novem quantitates ' "' — ' " etc. neceffario evanescerent , i. e. coefficientes a, a', a ' tum ipfis 6, 6', 6', tum ipfis y, y', 7" ´pro-

portionales evaderent. Hinc etiam , propter aequationem IV, quantitas & evanescere nequit ; quamobrem k neceffario debet elle quantitas pofitiva , fiquidem omnes coefficientes a, a , a " etc. debent eſſe reales . Combinatis tribus aequationibus primis in (III)

cum tribus primis in ( V) , hae novae prodeunt , quae manifefto a valore ipfius k non evanescente pendent :

ce ce - ce' ce' - a'' a"

k

65 C 6'6' - C" 5"

h (VI)

77

gllgll = + k }

Combinatio reliquarum easdem produceret. His denique adjun-

gimus tres fequentes :

CAROL. FRID . GAUSS 8

8° - C' f - Cllll =0

ya - y'a'

g"" a" = 0 (VII)

αρ - a'b' -

a" "

} =0

quae facile ex aequationibus III derivantur ; e. g. fecunda , quinta

et octava fuppeditant : ε by — - εC'y ' — ε 5" oy" = ky (y ' a " — a ' y '') — ky ' (y " a — a" )
- ky" (%yaα' - a % ) = 0 Manifefto hae quoque aequationes ab exclufione valoris ko

funt dependentes * ) . Quoniam , ut jam fupra monuimus , omnes coefficientes
a, a' , a" etc. per eundem factorem multiplicare licet , unde valor ipfius k per quadratum ejusdem factoris multiplicatus prodibit, abhinc femper fupponemus
k=i quo pacto neceffario quoque erit vel & = + 1 vel ɛ = — 1 . Patet itaque , novem coefficientes a , a ' , a " etc. , inter quos fex aequationes conditionales adfunt , ad tres quantitates ab invicem independentes reducibiles effe debere , quod quidem commodiflime per tres angulos fequenti modo efficitur :

a = cos L tang N

fin L tang N

✅ = ſec N

a

cos L cos M fec N

fin L cos M fec N

fin L fin M cos L fin M

' cos M tang N

a" cos L fin M fec N

fin L cos M

fin L fin M fec Ncos L cos M 6"

" fin M tang N

ubi

* ) Forfan haud fuperfluum erit monere , nos analyfin praecedentem confulto elegiffe , atque alii derivationi relationum III - VII praetuliffe, quae quamquam aliquantulum elegantior videretur , tamen , accurate examinata , quibusdam dubiis obnoxia inventa eft , quae non fine am-
bagibus removere licuiffet.

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC.

ubi fignorum ambiguorum fuperiora referuntur ad cafum ɛε = + ", 1
inferiora ad cafum & — 1. Attamen tractatio analytica ad
maximam partem elegantius fine ufu horum angulorum abfoluitur. Ceterum haud difficile foret , fignificationem geometricam
tum horum angulorum, tum reliquarum quantitatum auxiliarium in hac disquifitione occurrentium affignare ; hanc vero interpre-
tationem ad inftitutum noftrum haud neceffariam lectori perito explicandam linquimus.

4.

Si jam in expreffione diftantiae g pro cos E et fin E valores

fupra affumti fubftituuntur , illa in hanc formam tranfibit :

√ (G+ G'cosT² +G" fin T² +2йcos TinT +2H' fin T+ 2H cos T)

g=

y + y'cos T + y fin T

ubi coëfficientes a , a ', a" etc. ita determinabimus , ut faluis fex

aequationibus conditionalibus

- α α - E E + y y=

1

- a' a' - E' E' + 'jʻgʻ

- α" a" - E!! E" + g " g " = = 1

a' a" -- Ğ' E' + g⁰ g" =

[1]

― all a - E'E + J" y =

a a' — E E' + y y' =

adeoque etiam reliquis inde demanantibus , fiat H = 0 , H' = 0 , H" = o0

quo pacto problema generaliter loquendo erit determinatum . Quodfi itaque denominatorem ipfius g per t denotamus , tranfire debet functio trium quantitatem t , t cos E , t fin E haec
2 (AA + BB + CC) ttaa (t cos E) ² + bb ( t fin E) ² - 2a At . t cos E
ab Bt. t fin E per fubftitutionem
B

10

CAROL. FRID, GAUSS

t cos E = a + a ' cos T + a" fin T

tfin E 6+ &' cos T + 6" fin T

t

= y + y'cos Ty" fin T

in

GG' cos T² + G" fin T² Manifefto hoc idem eft , ac fi dicas , functionem trium indeterminatarum x , y , z hanc (W)

aaxx + bbyy +

( AA + BB +

CC) zz —

2 a Axz -

sb Byz

per fubftitutionem

x = α u + a ' u' + a'r ull

y = 6u + 6' u' + E" u"

z = yu + y' u' + y" u" in functionem indeterminatarum u, u', u' hanc

Guu + G'u'u' + G " u" u" tranfire debere. At quum ex his formulis , adjumento aequatio-

num [1 ] facile fequatur

u u' =

αχ

by

+

yz ,

a'x + C'y

u" =

a " x + E·¹y- oftzo

manifefto functio W identica effe debebit cum hac

G(-ax- by

+

yz ) ²

+ G ' ( a'x +

5

'

y

—

oʻz)

²

+

G"

( ax

+5"

y

-y "

z)2

unde habemus fex aequationes

aa = Gaa + G'a'a ' + G" a" a""

bb = GEE + G'E 5' + G " 8" 8"

AA+ BB + CC = Gyy + G'y'y' + G" y ' of!! bB = Gby + G ' E' y' + G " E" q"

[2]

a A = Gya + G'y' a ' + G" y" a"

0 = Gab + G'a'b' + G ' a" "

Ex his duodecim aequationibus [ 1 ] et [2 ] incognitas noftras

G, G', G' , a, a', a" etc. , determinare oportebit.

5.

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC, II

5.

E combinatione aequationum [ 1 ] et [ 2 ] facile derivantur fequentes :

- ɑɑa + ya A = α G

Ebb + ybB = 6G

y (AA +

BB

+

CC)

--

aaA

·

CbByG

unde fit porro

7a A α=
aa + G

• [3]

yb B 6=
= bb + G

• [4 ]

a a AA -
AABB + CCaa + G

bb BB
=G bb + G

Ultimam fic quoque exhibere poffumus

AA

BB

CC

+

+

aa + G

bb + G

G

[6]

Perinde e combinatione aequationum [1 ] et [ 2 ] deducimus ά'a a - y'a A = u'G' Ebb - y' b B = &' G' - y' ( AA + BB + CC) — a ' a ▲ - C' b B = y'G!
atque hinc

J'as
α aa -- GI

• [6]

'b B
8' = bb G

AA

BB

+

aa G'

bb - Gʻ

CC G'

• [7] ... • [8]

et prorfus fimili modo

" aA
all = aa G"

...

• [9]

B2 6"

12

CAROL. FRID . GAUSS

"bB
୯ bb - GI

AA

BB

CC

---

=

+

a a G"

bb - G"

G"

[ 10] • [u]

Patet itaque, G, - G' ,

G" effe radices aequationis

AA

BB

cc

+

+

=1

aatx

bb + x

x

• • • [12]

quae rite evoluta ita fe habet

x³- ( AA+ BB + CC - aa - bb) xx+(aabb - aaBB - aaCC - bbAA - bbCC

· aabb CC0

• [13]

6.

Jam de indole hujus aequationis cubicae fequentia fu notanda.

I. Ex aequationis termino ultimo

aa bb CC concluditur , ear

certe habere radicem unam realem , et quidem vel pofitivam vel , fi Co , cifrae aequalem. Denotemus hanc radicem rea lem non negativam per g.

II. Subtrahendo ab aequatione 12 , ita exhibita

hanc :

AAx

BBx

x=

+

+ cc

aatx

bb + x

AAg

BBg

8=

+

+ cc

aa + g

bb + g

et dividendo per x - g, oritur nova , duas reliquas radices

complectens

aaAA

1 bb B B

1=

+

(aa + x) (aa + g)

(bb + x) (bb + g)

quae rite ordinata et foluta fuppeditat [ 14 ]

aa A A

bb BB

2x = +

aa

bb

aa +g

bb+g

a aA A -

bb B B 2

4aabb AABB

± √ ((aa - bb

+ aa + g bb + g

+ (aa + g)(bb +g)

Haec

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 13
Haec expreffio , quum quantitas fub figno radicali natura fua fit pofitiva , vel faltem non negativa, monftrat , etiam duas reliquas radices femper fieri reales.

III. Subtrahendo autem ab invicem aequationes iftas fic exhibitas

A Agx

BB gx + gCC

gx =

+

aatx

bb + x

AAgx

BB gx

gx =

+

+ xcc

aa + g

bb + 8

et dividendo per g - x , prodit aequatio duas reliquas radices continens in hacce forma :

0=

A Agx

+

BBgx

+ cc

(aa + g) (aa + x)

(bb + g) (bb + x)

cui manifeſto , fi g eſt quantitas pofitiva per valorem pofitivum ipfius x fatisfieri nequit. Unde concludimus, aequationem noftram cubicam radices pofitivas plures quam unam habere non poſſe.

IV. Quoties itaque o non eft inter radices aequationis noftrae, aderunt neceffario radix una pofitiva cum duabus negativis.

Quoties vero Co , adeoque o una radicum , reliquas com-

plectetur aequatio

-

-

-

xx- (AA + BB — aa — bb) x + aabb — aaBB — bbАA = 0

unde hae radices exprimentur per

(AA + BB — aa — bb) ± ½ √ (( AA — BB — aa + bb) ² + 4 A ▲ BB) Tres cafus hic iterum diftinguere oportebit.
Primo fi terminus ultimus aabbaa BB - bbAA eft pofi . tivus ( i. e. fi punctum attractum in plano ellipfis attrahentis intra curvam jacet ) , ambae radices , quum reales effe debeant, eodem figno affectae erunt , adeoque quum fimul pofitivae eſſe nequeant , neceffario erunt negativae. Ceterum hoc etiam inde-
penden-

CAROL. FRID. GAUSS 14

pendenter ab iis , quae jam demonftrata funt, inde concludi pote

quod coefficiens medius , quem ita exhibere licet

1

bb АA

aa B

(aa bb

aa BB -

bb 44 ) (— ½ + ½

+

+

αα

aa

bb

manifefto in hoc cafu fit pofitivus .

Secundo , fi terminus ultimus eft negativus , five punctum . attractum in plano ellipfis extra curvam fitum , neceffario alter
radix pofitiva erit , altera negativa.

Tertio autem , fi terminus ultimus ipfe evanesceret , five

punctum attractum in ipfa ellipfis circumferentia jaceret , etiam

radix fecunda fiereto , atque tertia

bb ДА

aa BB

aa

bb

i. e. negativa. Ceterum hunc cafum , phyfice impoſſibilem , et in quo attractio ipſa infinite magna evaderet , a disquifitione noſtra, hocce faltem loco , excludemus.

7.

Ad determinandos coefficientes y , y ', y '' , ex aequationibus 1, 3 , 4, 6, 7, 9, 10 invenimus

1

7= -
√ (1

aA (
aa + G)=
1

bB (bb+ G)²)

aA

bB

αα G₁) ² + (bb — G₁) ²

[ 15] 1)

भग aA

bB

aa -- G₁ ) ² + (bb = G" )² — 1)

Ex

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 15

Ex his aequationibus rite cum 5 , 8 , 11 combinatis etiam

fequitur :
Y =√ AG

G BG

aa + G ) ² + bb + 6) ² + CC

G'

AG'

BG'

aa -G₁)² + (bb= - Ga)² + cc

[ 16]

GI

AG"

BG"

aa — Gπ) ² + (bb = Gπ ) ² + cc j

Hae pofteriores expreffiones oftendunt , nullam quantitatum G, Gʻ, Gʻ negativam effe poffe , fiquidem y, y', y debent effe reales.

In cafu itaque eo , ubi non eft Co , neceffario G aequalis ftatui debet radici pofitivae aequationis B , patetque adeo , - G

aequalem effe debere alteri radici negativae , atque

G" aequa

lem alteri * ) ; utram vero radicem pro - G' , utram pro - G"

adoptemus , prorfus arbitrarium erit.

Quoties Co , punctumque attractum intra curvam fitum, duas radices negativas aequationis 13 neceffario pro — Get G"

adoptare , et proin Go ftatuere oportet. Quoniam vero in hoc

*) Proprie quidem ex analyfi praecedente tantummodo fequitur, —G'et — G"

fatisfacere debere aequationi 13 , unde dubium effe videtur , annon

liceat , utramque

Get

G

eidem radici negativae aequalem

ponere , prorfus neglecta radice tertia. Sed facile perfpicietur , fiqui-

dem aequationis radix fecunda et tertia fint inaequales, ex - G' - G "

fequi

, α = α!!, B ' = ", et proin - a' all - B' B3'' +

god gillat αa - B' BBr' + got grt = I , quod aequationi quartae

in [ 1 ] eft contrarium . Conf. quae infra de cafu duarum radicum

aequalium aequationis 13 dicentur.

CAROL. FRID . GAUSS 16

hoc cafu formula prima in 16 fit indeterminata , formulam

primam in 15 ejus loco retinebimus , quae fuppeditat 1

y=

AA ВВ

aa

bb

Quoties autem pro Co punctum attractum extra ellipfin

jacet , aequationis 13 radix pofitiva ſtatuenda eft = G , atque vel

-

Gʻ , et

G" =

o , vel

radix

---negativa =

G", et

negativa =

G₁ = 0 ; coefficientem y" vel ' vero inveniemus per formulam

AA

BB'

VAA +

-- 1)

aa

bb

Ceterum in cafu jam exclufo , ubi punctum attractum in

ipfa circumferentia ellipfis fitum fupponeretur, coefficientes y et y', vely et y evaderent infiniti , quod indicat , transformationem

noftram ad hunc cafum omnino non effe applicabilem.

8.

Quamquam formulae 15 , 16 ad determinationem coëfficientium y, ' , ' fufficere poffent , tamen adhuc elegantiores affi-

gnare licet . Ad hunc finem multiplicabimus aequationem [5] per

aabb - GG , unde prodit , levi reductione facta ,

aa AA (bb + G)

bb BB (aa + G)

AAG +

- BBG

aa + G

bb + G

aabb

GG

aa bb CC -CCG
G

Sed e natura aequationis cubicae fit fumma radicum G - G - G" = AA + BB + CC - aa - bb productum radicum G G G = aabb CC

Hinc aequatio praecedens tranfit in fequentem :

aaAA(bb + G) bbBB (aa + G)

+ GʻG " -G ( G - G' -G " +aa +bb).

+

aa + G

bb + G

aabb -- GG

quam

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 17

quam etiam fic exhibere licet

aa AA (bb + G)

bb BB (aa + G)

-

+

(aa + G) (bb + G) +

aa + G

bb + G

( G + G¹) ( G + G″ ) = 0

Hinc valor coefficientis in fequentem :

e formula prima in [ 15] transmutatur

(aa + G) (bb + G) Y= √
( G + G ') ( G + G″)

[ 17 ]

Per analyfin prorfus fimilem invenitur
~(aa — G¹) (bb G') goo = v√
( G + G ') ( G“ — G ')
gll = √ (aa — G") (bb - G")
( G + G " ) ( Gʻ — G “)

[ 18] · [19]

Poftquam coëfficientes y, y', ' inventi funt , reliqui a , 6,

a ', ', a", ' inde per formulas 3, 4, 6, 7 , 9 , 10 derivabuntur,

9.

Signa expreffionum radicalium , per quas y, y' , y determi

navimus , ad lubitum accipi poffe facile perfpicitur. Operae au-

tem pretium eft , inquirere , quomodo fignum quantitatis & cum

fignis iftis nexum fit. Ad hunc finem confideremus aequationem tertiam in III art. 3 .

ε y = a′5 ″ S'a"

quae per formulas 6, 7 , 9 , 10 transmutatur in hanc :

ab AB'y'

87 =

-

(aa G') (bb - G" )

ab AB'y" (aa G') (bb — G')

-— ab (aa - bb) AB ( G“

G') yʻy"

=

(aa --- G') (aa — G'') (bb G ') (bb - G")

Sed e confideratione aequationis 13 facile deducimus

(aa + G) (aa - G ') (aa G') = aa (aa- bb) AA

= (bb + G) (bb — Gʻ) (bb — G")

bb (aa - bb) BB

C

Hinc

CAROL . FRID . GAUSS 18

Hinc aequatio praecedens fit

(aa + G) (bb + G) ( G' --- G") ajrat

88 =

ab (aa- bb) AB

quae combinata cum aequatione 17 fuppeditat. ɛ ab (aa - bb) AB
ggly! = ( G + G') ( G + G'') ( G ' —- G' )
Hinc patet , G pro - G' electa fit aequationis cubicae radi

negativa abfolute major , fimulque coefficientes y, ', ' amnes

pofitive accepti fint , & idem fignum nancisci , quod habet AB, idemque evenire , fi his quatuor conditionibus , vel omnibus vel

duabus ex ipfis , contraria acta fint , oppofitum vero , fi uni vel tribus conditionibus adverfatus fueris. Ceterum fequentes adhuc

relationes notare convenit , e praecedentibus facile derivandas :

ɛaab AAB α a' a'' =
( G + G') ( G + G'') ( Gʻ — G″)

66'6" =

ɛabb ABB ( G + G') ( G + G″) ( Gʻ — G″)

ab =

ab AB (G + G ) ( G + G")

a' 5'

ab AB ( G + G') ( Gʻ — G″)

a" 8" =

ab AB (G + G") ( G'G ')

10.

Formulae noftrae quibusdam cafibus indeterminatae fieri poffunt , quos feorfim confiderare oportet. Ac primo quidem

discutiemus cafum eum , ubi aequationis cubicae radices negati

vae - G',

G" aequales fiunt , unde , per formulas 18, 19,

rocfficientes y', y valores infinitos nancisci videntur , qui aute.m revera funt indeterminati,

Sta-

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 19

Statuendo in formula 14 , g = G, patet , ut duo valores ip-

fius x, i . e. ut GetG" fiant aequales, neceffario effe debere

AB = o , aa — bb

aa AA

bb BB

+

=0

aa + G

bb + G

Hinc facile intelligitur , quum aabb natura fua fit vel

quantitas pofitiva , velo , effe debere

B=0

aa AA

aaAA

a a - bb =

five aa + G =

aa + G'

aa- bb

Subftituendo hos valores in aequatione 14 , fit G' = G" = b b

Subftituendo porro valorem x bb in aequatione cubica 13, prodit (a a - — bb) (CC + bb) = bb AA

Quoties haec aequatio conditionalis fimul cum aequatione B 0

locum habet, cafus, quem hic tractamus, adducitur.

aa AA G=
aa bb

aa CC bb

Et quum fiat

formula 17 fuppeditat
aabb AA Y= √
= (aa - bb) (aa CC + b¹)

aa CC + aabb aa CC + b+

ac dein formulae 3 , 4

y (aa - bb)

y bb A

α=

=

aA

a (CC + bb)

64AA =√
(CC + bb) (aa CC + 64)

6 =0

bb (aa — bb) aa CC + b+

Valores coefficientium ' , " per formulas 18 , 19 in hoc

cafu indeterminati manent , atque fic etiam valores coëflicientium

reliquorum a ' , C', a ", 6" . Nihilominus per unum horum coëffi-

Ca

cien-

20

CAROL. FRID. GAUSS

cientium omnes quinque reliqui exprimi poffunt , e. g. fit p
formulam 6
Y'aA a² =
аа- bb
ac dein

E' = √ (¹ — a'a' + g¹Ÿ') , y " = √ (gy -
ya A a" =
aa -—---- bb • 6" = √ ( ₂ — a" a " + y" g" ).
Sed concinnius hoc ita perficitur. Ex

gy = 1 + aα , aα a' = yy ' , 1 = a ' a ' + 6' 6' — yʻgʻ fequitur

gergel 6'6' +
aa

--- a'a' +

=

καα

Quapropter ftatuere poffumus

C' = cos f, y' = a fin ƒ , a ' = y fin f

Dein vero e formulis e a " =

- y b' , ε 6' ' = ya' -— αy',

εy " = E α' — a b', ɛɛ = 1 invenimus R

a" = εy cos f, 6" & fin f, yea cos f

Valor anguli ƒ hic arbitrarius eft , nec non pro lubitu ftatui pote-

rit vel e + 1 vel ε = − 1 .

II.

Si G', G" funt inaequales, valores coefficientium y, ', '

per formulas 17 , 18, 19 indeterminati effe nequeunt , fed quoties

aliqua quantitatum aa- G', bb - Gʻ, aa— G", bb - G" evanescit , valor coefficientis a ', 6' , a ", y" per formulam 6, 7 , 9, 10

refp. indeterminatus manere primo afpectu videtur , quod tamen fecus fe habere levis attentio docebit.

Supponumus e. g. , effe aà- Go , fietque , per aequa-

tionem 18 , yo , nec non per aequationem 7 ,

o ( fiqui-

dem non fuerit fimul aabb), unde neceffario effe debet a = ± 1 .

Si

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 21

Si vero fimul aabb , formula , quae praecedit fextam in art. 5,

fuppeditat a' + C B = o , quae aequatio cum a'a' + 6'6' = 1

juncta , producit B
α = √(AA + BB)

-B √ (AA + BB)

Hae expreffiones manifefto indeterminatae effe nequeunt, nifi fimul fuerit Ao , Bo ; tunc vero ad cafum in art. praec. jam confideratum delaberemur.

12.

Poftquam duodecim quantitates G, Gʻ, G" , a, a ', a '', E, C', E'', , ', " complete determinare docuimus , ad evolutionem diffe-

rentialis dE progredimur. Statuamus t = y + y' cos Ty" fin T
ita ut fiat

• [20]

t cos E = a + a ' cos T + a " fin T .. • [21 ] t Gin E = 6+ 6' cos T + 6" fin T ... [22] Hinc deducimus

td Ecos E d. t fin E - fin E d. t cos E

= cos E (6" cos T— ' fin T) d T - fin E (a' cos T― a ' fin T) d T

adeoque -
tt dE = (ab” – ab" ) cos TdT + (a'C - C' a ) 1fin TdT + ( a′6″ – ' ab' ) dr
= ' cos Td T + ɛy" fin TdT + ɛyd T = εtd T
five

td Eεd T. •

• • • [23]

Obfervare convenit , quantitatem & natura fua femper pofiti-

vam effe , fi coefficiens y fit pofitivus , vel femper negativam , fi

fit negativus. Quum enim fit ( ' cos T + y“ fin T) ² +

(

" cos

T - y' fin

7) ²

=

yʻ' gy " + gllig "

=Ÿ

- 1 , erit fem-

per y cos T + " fin T, fine refpectu figni , minor quam y.

Hinc concludimus , quoties &

fit quantitas pofitiva , variabiles E

CAROL . FRID . GAUSS 22 1 E et T femper fimul crescere ; quoties autem eεfγ fit quantit negativa , neceſſario alteram variabilem femper decrescere , dur altera augeatur.

13.
Nexus inter variabiles E et T adhuc melius illuftratur ' pe -
ratiocinia fequentia . Statuendo √ (yy — 1 ) = d, ita ut fiat dd = aa¨+ 65 = y'y' + "' y " , ex aequationibus 20, 21 , 22 deducimu

t (d + a cos E + 6 fin E) = yd + aa +66 + ( y′d + aa² +66') cos 2 + (y " d + aa" + 66") fin T
= (x + d) ( d +'y' cos T + y fin T)

Perinde ex aequationibus 21 , 22 fequitur t (a fin E - 6 cos E) = ε (y' fin Ty cos T)

Hae aequationes , ftatuendo

α

g'

syll

= cos L, J = fin L,

= cos M,

= fin M

nanciscuntur formam fequentem : -
t ( 1 + cos (E — L) ) = (y + d) ( 1 + cos ( T- M))
t fin (EL) = ɛ fin ( TM)

unde fit per divifionem , propter (y + d) ( y — d) = 1 ,
tang ¦ (E — L) = ɛ (y — d) tang § ( T — M)
tang ; ( T — M) = ɛ (y + d) tang ½ (E — L)

Hinc non folum eadem conclufio derivatur, ad quam in fine

art. praec. deducti fumus, fed infuper etiam patet , fi valor ipfius

E crescat 360 gradibus , valorem ipfius T tantundem vel crescere

vel diminui , prout ɛy fit vel quantitas pofitiva vel negativa.

Ceterum ftatuendo

tang N, y fec N, manifefto erit

y — d = tang (45 ° — } N ) , y + d = tang ( 45 ° + } N)

14.

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 23

14 .

E combinatione aequationum 20, 21 , 22 cum aequationibus

art. 5 obtinemus :

at (A - a cos E) = a G

a' G cos T - a" G" fin T

bt (B - b fin E) = 6 G —

'G' cos T-

" G" fin T

Statuendo itaque brevitatis gratia (a G- a'G'cos T-a" G" fin T) (y - e a + ( y ' - e a ') cos T+ (y " -e a ') fin T)
= ax

(CG- C'G' cos T-CG" ſin T) (y - ea + (y'− e a ' ) cosT+ (y " — e a " ) fin T) by

C (y + y ' cosT+ 2 “ finT) (y - ea + (y ' - ea ') cosT+ (7 ″ -e a “ finT) =Z

fit

εXdT

d≠ =

3

επιρ

εYd T

εZd T

ds =

d3 =

2π t383 ,

επιρ

Sed habetur

tg = ± √ ( G + G' cos T² + G" fin T²)

figno fuperiori vel inferiori valente , prout t eft quantitas pofitiva

vel negativa ( enim natura fua femper pofitive accipitur), i. e. prout coëfficiens 2 eft pofitivus vel negativus. Hinc

εd T

dT

2771383

27 ( G + Gʻ cos T2 + G" fin T² )

ubi fignum ambiguum a figno quantitatis yɛ pendet.

Ut jam valores ipfarum & ,, obtineamus , integrationes

differentialium exfequi oportet , a valore ipfius T, cui refpondet

Eo , usque ad valorem , cui refpondet E = 360 ° , five etiam

(quod manifefto eodem redit ) a valore ipfius T cui refpondet

valor arbitrarius ipfius E , usque ad valorem , cui refpondet valor

ipfius E auctus 360 ° ; licebit itaque integrare a T = o usque ad

T = 360 °, quoties &

eft quantitas pofitiva , vel a T = 360 ° usque

2 CAROL. FRID. GAUSS 24
usque ad T = o quoties & y eft negativa. Manifefto itaque , i dependenter a figno ipfius ε y, erit :
XdT
E = Sa2nπ (G G+G cos T2 + G" fin T2) Yd T
หฺ = fa2π# ((G ++ GG' cos T2 + G" fin T2 )} Za T
3 = √127 π ((G + G' cos T² + G" ſin T² )} integrationibus a To usque ad T = 360 ° extenfis.

15.

Nullo negotio perfpicitur , integralia cos Td T
L(G + + GG'cos T'² + G" fin T²)} fin Td T
SG G+ + G' cos T² + G“ fin T² )} cos T fin TaT
S(G G+ + G cos T2 + G" fin T2)} a T = 180 ° usque ad 7 = 360 ° extenſa obtinere valores aequales iis , quos nanciscantur , fi a To usque ad T 180° extendantur , fed fignis oppofitis affectos ; quapropter iſta integralia a To usque ad T = 360 ° extenfa manifefio fiunto. Hinc colligimus , effe

(( (y - ea ) a G- (g ' — ea ') a'G'cos T2 - (7 " -e c " ) a " G" fin T²) dT
2 na (G + G' cos T² + G" in T2 )

2=

( ( y− e a ) EG − (y ' - e a ' ) b'G' cos T² - (y " - e a “ ) 5" G" fin T²) d 7
2 2πb (G + G' cos T² + G" fin T² )

(' ( (y ~ ea) y + ( y² -e a ' ) y ' cos T² + (y " -ea") y " fin T2 ) Cd 7

3=flr-

2π (G + G'cos T² + G" fin T²) }

integra-

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 25

integralibus a To usque ad T 360 ° extenfis. Quodfi ita que valores integralium , eadem extenfione acceptorum ,
cos T2 d T

Ja2z77 ((( G + + G'') ) cos T² + ( G + G" ) ſin T²) } fin T2 d T

Sizπ (((( G + + GG²')) c~os T² + ( G + G″) lîn T²)}

per P, denotamus , erit

a& = ((y —

e a)

a

G—

((7y''

—

e a ') a ' G¹) P + ,

·

-

( yea) a G (7 " — e a " ) α " G" ) {

by = ((y — e a ) 5G — (7 ' — e a ') b'G ' ) P + -
((yea) & G – (7 " — ea" ) 6" G″) Q
3 = ((y — e α) y + (7 ' — e α ') 7 ') CP +
((y — eα) y + (7 " — e a “ ) 7 ") C Q

quo pacto problema noftrum complete folutum eſt.

16.
Quod attinet ad quantitates P, Q, manifefto quidem utraque fit

2 (G + G₁)2 quoties G' G", in omnibus vero reliquis cafibus ad transscendentes funt referendae. Quas quomodo per feries exprimere liceat, abunde conftat. Lectoribus autem gratum fore fperamus, fi hacce occafione determinationem harum aliarumque transscendentium per

algorithmum peculiarem expeditiffimum explicemus , quo per multos jam abhinc annos frequenter ufi fumus , et de quo alio loco copiofius agere propofitum eft.

Sint m , n duae quantitates pofitivae , ftatuamusque

m² = 1 (m + n) , n' = √ m n

D

ita

CAROL. FRID. GAUSS 26

ita ut m ' , n' refp. fit medium arithmeticum et geometricum inter m et n. Medium geometricum femper pofitive accipi fupponemus. Perinde fiat

m" = 1 (m' + n') , n'' = √m ' n' m'' = ½ (m" + n'') , n '"' = √m" n"

et fic porro, quo pacto feries m, m ', m“ , m'etc. , atquén, n', n', n''' etc. verfus limitem communem rapidiffime convergent , quem per μ defignabimus , atque fimpliciter medium arithmetico - geometricum

inter m et n' vocabimus. integralis

Jam denoftrabimus ,

effe valorem

μ

dT

2π (mm cos T2 + nn fin T2)

a To usque ad T 360 ° extenfi.

DEMONSTR. Supponamus , variabilem T ita per aliam T
exprimi , ut fiat
2m fin T fin T =
(m + n) cos T² + 2m fin TV2

perfpicieturque facile , dum T' a valore o usque ad 90 °, 180º, 270 °, 360 ° augeatur , etiam T (etfi inaequalibus intervallis) a o usque ad 90 °, 180 ° , 270 °, 360 ° crescere. Evolutione autem rite

facta , invenitur eſſe

ат

d T'

=

√(mm cos T² + nn fin T²) √(m'm' cos T'² + n'n' fin Ț'²)

adeoque valores integralium

ат

dT

2π √(mmcos T2 + nn fin 72)'S •a2n π VV.i(mn'm' cos T2 + n'n'fin T2)

fi utriusque variabilis a valore o usque ad valorem 360 ° extenditur

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC.

27

ditur , inter fe aequales. Et quum perinde ulterius continuare liceat , patet , his valoribus etiam aequalem effe valorem integralis
do επν (μμ cos 02 + μμ Gin ( 3)

ao vsque ad = 360 °, qui manifefto fit =

Q.E. D.

17. Ex aequatione , relationem inter T et T' exhibente,
(mn) fin T. fin T22m fin T (m + n) fin T facile deducitur

√ (mm cos T² + nn fin T²) = m (mn) fin T. fin T'

√ (m'm' cos T¹² + n'n ' fin T'² ) = m cotang T. tang T' atque hinc , adjumento ejusdem aequationis ,

fin T. fin T' . √(mm cos T² + nn fin T² ) + m² (cos T2 -fin T²)= cos T. cos T. (m² m² cos T¹² + n ^ n^ fin T¹²) .— 1 (m — n) fin T¹²

Multiplicata hac aequatione per

dT

d T'

=

√ (min cos T2 + nn fin T2)

√(m' m' cos T12 + n'n' fin T2)

prodit

m' (cos T² --fin T²) d T

(mn) in T2 d T'

==

√(mm cos T² + nn lin T²)

√(m'm' cos T2 + n'n' in T2)

d. fin T cos T

mn
Multiplicando hanc aequationem per π

fubftituendo

m '(m — n) = }} (mm — nn) , (m — n) ² = 4 ( m' m ′ - n'n '), fin T2 =

· -
194

(cos T2 — fin T/2), et integrando, a valoribus Tet To

usque ad 360 ° , habemus ;

D2

(mm

CAROL. FRID. GAUSS 28

(cos T¹2 -- fin T2). d T

1(mm

nn ) | 2 π V(mm cos 12+ nn fin T²) =

2 (in'm '

n'n

μ

+'e (m'm'

(cos T2- fin T/2) d T 2πV(m'm' cos T2 + n'n' fin T

Et quum integrale definitum ad dextram perinde transformar liceat , manifefto integrale

(cos T2 -- fin T²) d T 2πV(mm cos T² + nn fin T2)

exprimetur per feriem infinitam citiffime convergentem

2 (m'm' - n''n) + 4 (m" m"-n"″n" ) +8 (m”" m"-n”"n" ) + etc.

μ

(mm ― nn) μ

Calculus numericus commodiffime per logarithmos perficitur , fi ftatuimus

4√(mm – nn) = λ, 4 √ (m'm' — n'n ' ) = λ' , { √ (m" m" - nn″" n")) = λ " etc. unde erit

λλ

χιλι

λ"2"

λ= m'

入 λ!" = mi

入 λ"" =

etc. atque

m"

2λ'λ' + 4λ" λ " + 8λ "" λ "" + etc.

v=

λλ

18.

Per methodum hic explicatam etiam integralia indefinita (a

valore variabilis

o inchoantia) maxima concinnitate affignare

licet. Scilicet , fi T" perinde per m ' , n', T determinari fupponi-

tur , uti T' per m , n, T, ac perinde rurfus T" per m ' , n", T´

et fic porro , etiam pro quovis valore determinato ipfius T, valores

DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC.

29

lores terminorum ferie T, T, T", T" etc. ad limitem

convergent , eritque

dT

→

S S√ v(mm cos T² + nn fin T² )

citiffime

(cos T2 -fin T2) d T

νΘ

S√ v(mm cos T² + nn ſin T²)

μ

X'cos Tin T' +2λ" cos T' fin T" +42" cos T" finT"" +etc.

ሊሊ

Sed haec obiter hic addigitaville fufficiat , quum ad inſtitutum noftrum non fint neceſſaria.

19.

Quodfi jam ftatuimus m = √ (G + G' ) , n = √ ( G + G ' ),

valores quantitatum P, Q facile ad transscendentes μ, v reducen-

tur. Quum enim P, O fint valores integralium

cos T2dT

fin T² dT

Sax(mm cos T² + nn lin T²)} ' Sar(mm cos T² + nn fin T

a To usque ad T eft , haberi

360 ° extenforum , primo ftatim obvium

mmP + nn Porro fit

= μ

[24]

(cos T2 fin T2 ) d T

(mm cos T2 -nn fin T2) d T

+

2V(mm cos T2 + nn fin T2)

27 (mm cọs T² + nn ſin T² )

(mm cos T4 -nn fin T4) d T

(mm cos T² + nn fin T² )½

cos T fin T = d.
πV(mm cos T2 + nn fin T2)

Inte-

C. F. GAUSS DETERMINATIO ATTRACTIONIS ETC. 30

Integrando hanc aequationem a To usque ad T = 360 °,

prodit

ν + mm P
μ

nnoo ... [25]

E combinatione aequationum 24, 25 denique colligimus

i+v P=
2mm μ

V
= ann

1

1

story Theory of)
THEORIA
COMBINATIONIS OBSERVATIONUM ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE
AUCTORE
CAROLO F FR RIDERICO GAUSS ORDINIS GUELPHORUM ATQUE ORDINIS DANNEBROG EQUITE , BRITANNIARUM HANNOVERAEQUE REGI A CONSILIIS AULAE , OBSERVATORII REGII GOTTINGENSIS DIRECTORE , ASTRONOMIAE IN UNIVERSITATE GOTTINGENSI PROFESSORE , SOCIETATUM REGIARUM GOTTINGENSIS , LONDINENSIS , EDINBURGENSIS , HAVNIENSIS , ACADEMIARUM REGIARUM BÉROLINENSIS , PARISINAE , NEAPOLITANAE , HOLMIENSIS, MONACHIENSIS , SOCIETATIS ITALICAE , CURONENSIS , ASTRONOMICAE LONDINENSIS ,
ACADEMIAE AMERICANAE ALIARUMQUE SOCIO .
GOTTINGAE APUD HENRICUM DIETE RICH.
1823.

(TZNA 280 2 A

THEORÍA

COMBINATIONIS OBSERVATION NU UM M

ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE.

CAROLO

AUCTORE FRIDERICO

GAUSS.

PARS PRIOR. SOCIETATI REGIAE EXHIBITA FEBR. 15, 1821.

I.
Quaunatntaaccuunnqquuee cura inftituantur obferuationes , rerum naturalium magnitudinem fpectantes, femper tamen erroribus maioribus minoribusue obnoxiae manent. Errores obferuationum plerum-
que non funt fimplices , fed e pluribus fontibus fimul originem trahunt : horum fontium duas fpecies probe diftinguere oportet. Quaedam errorum cauffae ita funt comparatae , vt ipfarum effectus in qualibet obferuatione a circumftantiis variabilibus pendeat , inter quas et ipfam obferuationem nullus nexus effentialis concipitur: errores hinc oriundi irregulares feu fortuiti vocantur, quatenusque illae circumftantiae calculo fubiici nequeunt , idem etiam de erroribus ipfis valet. Tales funt errores ab imperfectione fenfuum prouenientes , nec non a cauffis extraneis irregularibus , e. g. a motu tremulo aeris vifum tantillum turbante ; plura quoque vitia inftrumentorum vel optimorum huc trahenda, funt , e. g. afperitas partis interioris libellularum , defectus firmi
A

2

CAROL. FRIDERIC. GAUSS

tatis abfolutae etc. Contra aliae errorum cauffae in omnibus obferuationibus ad idem genus relatis natura fua effectum vel abfolute conftantem exferunt, vel faltem talem, cuius magnitudo fecundum legem determinatam vnice a circumftantiis , quae tamquam effentialiter cum obferuatione hexae fpectantur , pendet. Huiusmodi errores conftantes feu regulares appellantur.
Ceterum perfpicuum eft , hanc diftinctionem quodammodo relatiuam eſſe , et a fenfu latiori vel arctiori , quo notio obfervationum ad idem genus pertinentium accipitur , pendere. E g. vitia irregularia in diuifione inftrumentorum ad angulos menſurandos errorem conftantem producunt , quoties tantummodo de obferuatione anguli determinati indefinite repetenda fermo eft, fiquidem hic femper eaedem diuifiones vitiofae adhibentur : contra error ex illo fonte oriundus tamquam fortuitus fpectari poteft , quoties indefinite de angulis cuiusuis magnitudinis menfurandis agitur , fiquidem tabula quantitatem erroris in fingulis diuifionibus exhibens non adeft.

2.
Errorum regularium confideratio proprie ab inftituto noftro excluditur. Scilicet obferuatoris eft , onines cauffas , quae errores conftantes producere valent , fedulo inueftigare , et vel amovere , vel faltem earum rationem et magnitudinem fummo ftudio perfcrutari , vt effectus in quauis obferuatione determinata asfignari , adeoque haec ab illo liberari poffit , quo pacto res eodem redit, ac fi error omnino non affuiffet. Longe vero diuerfa eft ratio errorum irregularium , qui natura fua calculo fubiici nequeunt, Hos itaque in obferuationibus quidem tolerare , fed eorum effectum in quantitates ex obferuationibus deriuandas per fcitam harum combinationem quantum fieri poteft extenuare.
oportet. Cui argumento grauiffimo fequentes disquifitiones dicatae funt.

THEORIA COMBIN OBSERV. ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE, 3
3. Errores obferuationum ad idem genus pertinentium , qui cauffa fimplici determinata oriuntur , per rei naturam certis limitibus funt circumfcripti , quos fine dubio exacte affignare liceret , fi indoles ipfius cauffae penitus effet perſpecta. Pleraeque errorum fortuitorum cauffae ita funt comparatae , vt fecundum legem continuitatis omnes errores intra iftos limites comprehenſi pro poffibilibus haberi debeant , perfectaque cauffae cognitio etiam doceret , vtrum omnes hi errores aequali facilitate gau deant an inaequali , et quanta probabilitas relatiua , in cafu pofteriori , cuiuis errori tribuenda fit. Eadem etiam refpectu erroris totalis , e pluribus erroribus fimplicibus conflati , valebunt, puta inclufus erit certis limitibus , ( quorum alter aequalis erit aggregato omnium limitum fuperiorum partialium , alter aggregato omnium limitum inferiorum) ; omnes errores intra hos li mites poffibiles quidem erunt , fed prout quisque infinitis modis diuerfis ex erroribus partialibus componi poteft , qui ipfi magis minusue probabiles funt , alii maiorem , alii minorem facilitatem tribuere debebimus , eruique poterit lex probabilitatis relatiuae , fi leges errorum fimplicium cognitae fupponuntur, faluis difficultatibus analyticis in colligendis omnibus combinationibus. Exftant vtique quaedam errorum cauffae , quae errores non fecundum legem continuitatis progredientes, fed discretos tantum, producere poffunt, quales funt errores diuifionis inftrumentorum, (fiquidem illos erroribus fortuitis annumerare placet) : diuifionum enim multitudo in quouis inftrumento determinato eft finita. Manifefto autem , hoc non obſtante , fi modo non omnes errorum cauffae errores discretos producant , complexus omnium errorum totalium poffibilium conftituet feriem fecundum legem continuitatis progredientem , fiue plures eiusmodi feries interruptas , fi forte , omnibus erroribus discretis poffibilibus fecundum magnitudinem ordinatis , vna alteraue differentia inter binos terminos
A2

CAROL. FRIDERIC. GAUSS 4
proximos maior euadat , quam differentia inter limites errorum totalium , quatenus e folis erroribus continuis demanant. Sed in praxi cafus pofterior vix vmquam locum habebit , nifi diuifio vitiis craffioribus laboret,

4. Defignando facilitatem relatiuam erroris totalis x, in determinato obferuationum genere , per characteriſticam x , hoc, propter errorum continuitatem , ita intelligendum erit , probabilitatem erroris inter limites infinite proximos xet x + dx effe =
Ox.dx. Vix , ac ne vix quidem , vmquam in praxi poſſibile erit , hanc functionem a priori affignare : nihilominus plura generalia eam fpectantia ftabiliri poffunt , quae deinceps proferemus. Obuium eft, functionem Ox eatenus ad functiones discontinuas referendam effe , quod pro omnibus valoribus ipfius x, extra limites errorum poffibilium iacentibus effe debeto ; intra hos limites vero vbique valorem pofitiuum nanciscetur (omittendo cafum , de quo in fine art. praec. locuti fumus). In plerisque cafibus errores pofitiuos et negatiuos eiusdem magnitudinis aeque faciles fupponere licebit , quo pacto erit ( x) = x. Porro quum errores leuiores facilius committantur quam graviores , plerumque valor ipfius Ox erit maximus pro xo, continuoque decrefcet , dum x augetur,
Generaliter autem valor integralis fpx.dx , ab x➡a vsque ad xb extenfi exprimet probabilitatem , quod error aliquis nondum cognitus iaceat inter limites a et b. Valor itaque iftius
integralis a limite inferiori omnium errorum poffibilium vsque ad limitem fuperiorem extenfi femper erit 1. Et quum x pro omnibus valoribus ipfius x extra hos limites iacentibus femper fito, manifefto etiam::

valor integralis fx . dx ab xvsque ad x tenfi femper fit = 1.

+ ∞ ex-

THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MINIM . OBNOXIAE . 5
5 Confideremus porro integrale xx . dx inter eosdem limites, cuius valorem ftatuemusk. Si omnes errorum cauffae fim. plices ita funt comparatae , vt nulla adfit ratio , cur errorum aequalium fed fignis oppofitis affectorum alter facilius producatur quam alter , hoc etiam refpectu erroris totalis valebit , fiue erit ( -x) = 9x , et proin neceſſario ko. Hinc colligimus, quoties k non euanefcat fed e. g. fit quantitas pofitiua , necellario adeffe debere vnam alteramue errorum cauffam , quae vel errores pofitiuos tantum producere poflit , vel certe pofitiuos fa. cilius quam negatiuos. Haecce quantitas k , quae reuera eft medium omnium errorum poffibilium , feu valor medius ipfius x, commode dici poteft erroris pars conftans. Ceterum facile probari poteft , partem conftantem erroris totalis aequalem elle aggregato partium conftantium , quas continent errores e fingulis cauffis fimplicibus prodeuntes. Quodfi quantitas k nota fupponitur , a quauis obferuatione refecatur , errorque obferuationis ita correctae defignatur per x', ipfiusquè probabilitas per ' x', erit
x' — x — k, Q'x' = Qx ac proin fx' ' x'.dx' = ƒxQx.dx - fkQx.dx − k − k = o , i , e. errores obferuationum correctarum partem conftantem non habebunt , quod et per fe clarum eft.
6. Perinde vt integrale fxx.dx , feu valor medius ipfius x, erroris conftantis vel abfentiam vel praefentiam et magnitudinem docet , integrale
fxxx.dx. ab x = -∞ vsque ad x + ∞ extenfum (ſen valor medius quadrati xx) aptiffimum videtur ad incertitudinem obferuationum in genere definiendam et dimetiendam , ita vt e duobus obferuationum fyftematibus , quae quoad errorum facilitatem inter fe differunt , eae praecifione praeftare cenfeantur , in quibus inte-

6

CAROL FRIDERIC, GAUSS

* grale fxxx.dx valorem minorem obtinet. Quodfi quis ha rationem pro arbitrio , nulla cogente neceffitate , electam e obiiciat , lubenter affentiemur. Quippe quaeftio haec per rei n turam aliquid vagi implicat , quod limitibus circumfcribi n per principium aliquatenus arbitrarium nequit. Determinat
alicuius quantitatis per obferuationem errori maiori minori obnoxiam , haud inepte comparatur ludo , in quo folae iactura lucra nulla , dum quilibet error metuendus iacturae affinis el Talis ludi dispendium aeftimatur e iactura probabili , puta e aggregato productorum fingularum iacturarum poffibilium in pro babilitates refpectiuas. Quantae vero iacturae quemlibet obferua tionis errorem aequiparare conueniat , neutiquam per fe clarum eft ; quin potius haec determinatio aliqua ex parte ab arbitrio noftro pendet. Iacturam ipfi errori aequalem ftatuere manifefio non licet ; fi enim errores pofitiui pro iacturis acciperentur , negatiui lucra repraefentare deberent, Magnitudo iacturae potius. per talem erroris functionem exprimi debet , quae natura fua femper fit pofitiua. Qualium functionum quum varietas fit infinita , fimpliciffima , quae hac proprietate gaudet , prae ceteris eligenda videtur, quae absque lite eft quadratum : hoc pacto principium fupra prolatum prodit.

Ill. Laplace fimili quidem modo rem confiderauit , fed errorem ipſum ſemper pofitiue acceptum tamquam iacturae men. furam adoptauit. At ni fallimur haecce ratio faltem non minus arbitraria eft quam noftra : vtrum enim error duplex aeque tolerabilis putetur quam fimplex bis repetitus , an aegrius , et proin vtrum magis conueniat , errori duplici momentum duplex tantum , an maius , tribuere , quaeftio eft neque per fe clara , neque demonftrationibus mathematicis decidenda , fed libero tantum arbitrio remittenda. Praeterea negari non poteft , iſta ratione
continuitatem laedi ; et propter hanc ipfam cauffam modus ille

THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 7
tractationi analyticae magis refragatur , dum ea , ad quae principium noftrum perducit , mira tum fimplicitate tum generalitate commendantur.
7. Statuendo valorem integralis fxxx.dx ab x = -∞ vsque ad x = + ∞ extenfi mm , quantitatem vocabimus errorem medium metuendum , fiue fimpliciter errorem medium obſervationum , quarum errores indefiniți x habent probabilitatem relatiuam x Denominationem illam non ad obferuationes im mediatas limitabimus , fed etiam ad determinationes qualescunque ex obferuationibus deriuatas extendemus . Probe autem cavendum eft, ne error medius confundatur cum medio arithmetico omnium errorum , de quo in art. 5. locuti fumus.
Vbi plura obferuationum genera, feu plures determinationes ex obferuationibus petitae , quibus haud eadem praecifio concedenda eft, comparantur, pondus earum relatiuum nobis erit quantitas ipfi mm reciproce proportionalis , dum praecifio fimpliciter ipfi m reciproce proportionalis habetur. Quo igitur pondus per numerum exprimi poffit, pondus certi obferuationum generis pro vnitate acceptum effe debet.
8. Si obferuationum errores partem conftantem implicant, hanc auferendo er: or medius minuitur , pondus et praecifio augentur. Retinendo figna art. 5 , defignandoque per m' errorem medium obferuationum correctarum , erit m'm' = ƒx'x'Q'x' . d x' = f (x — k) 20x dx = √xxx.dx
— ekfxQx.dx + kkfx dx = mm — 2 kk + hk = mm- kk. Si autem loco partis conftantis veri k quantitas alia ab obfervationibus ablata effet , quadratum erroris medii noui euaderet = mm --- 2kl + ll = m² m² + ( l −k)².

!

CAROL. FRIDERIC, GAUSS . 8

Denotante

9. coefficientem determinatum , atque u valoren

integralis Ox.dx ab x = -2m vsque ad x + λm , erit probabilitas , quod error alicuius obferuationis fit minor quar Am (fine refpectu figni ) , nec non 1 - μ probabilitas erroris maio ris quam m. Si itaque valor μ = refpondet valori Amg error aeque facile infra § quam fupra ୧ cadere poteft , quocirca commode dici potelt error probabilis . Relatio quantitatum X, A

manifefto pendet ab indole functionis Ox , quae plerumque incognita eft. Operae itaque pretium erit , iftam relationem pro quibusdam cafibus fpecialibus propius confiderare.

I. Si limites omnium errorum poffibilium funta eta,
omnesque errores intra hos limites aeque probabiles , erit Ox 1
inter limites x — a et x = + a conftans , et proin = • Hinc 24
ma√ , nec non µ = λ√ , quamdiu λ non maior quam √3 ;
denique g = m = 0,8660254m , probabilitásque, quod error pro deat errore medio non maior , erit == 0,5773503.

II. Si vt antea a eta funt errorum poffibilium limi-
tes, errorumque ipforum probabilitas inde ab errore o vtrimque

in progreffione arithmetica decrefcere fupponitur , erit a-x
7x = ag , pro valoribus ipfius x inter o et a

a+x 9 x = = aa `, pro valoribus ipfius

inter o et —a.

Hinc deducitur m = a√ } , µ = λV — ¿ ^^ , quamdiu λ eſt inter o et 6 , denique X6- (6-6μ) , quamdiu μ inter o
et 1 , et proin
g = m (√6 — √ 3) = 0,7174389 m Probabilitas erroris medium non fuperantis erit in hoc cafu = √1 = 0,6498299.
III.

THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MINIM . OBNOXIAE. 9

xx III. Si functionem x proportionalem ftatuimus huic e hh

(quod quidem in rerum natura proxime tantum verum eſſe potelt) , effe debebit
hh

9x = h√ π

denotante deducimus

femiperipheriam circuli pro radio 1 , vnde porro

m = h√

(V. Disquif. generales circa feriem infinitam etc. art. 28.) .
fi valor integralis INN
√ √Se e dz επ

Porro

a zo inchoati denotatur per z, erit

μ = 0 (λ )

Tabula fequens exhibet aliquot valores huius quantitatis :

λ

μ

0,6744897 0,5 0,8416213 0,6 1,0000000 0,6826895 1,0364334 0.7 1.2815517 0.8
1,64485370,9 2,5758293 0,99 3.2918301 0.999 3.8905940 0,9999
I

10.
Quanquam relatio inter λ et μ ab indole functionis Oxx pendet, tamen quaedam generalia ſtabilire licet . Scilicet qualiscunque fit haec functio, fi modo ita eſt comparata, vt ipfius valor , creſcente valore abfoluto ipfius x , femper decrefcat , vel faltem non crefcat , certo erit
B